¿Cuál es el límite de [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to0} f (x) = \ frac {\ tan ^ 2 (x)} {\ sin (x ^ 2)} [/ math]?

Answer 1

Deje [math] \ displaystyle L = \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {\ tan ^ 2 (x)} {\ sin (x ^ 2)} [/ math]

En [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] el límite se pone en forma intermedia [matemáticas] \ dfrac {0} {0} [/ matemáticas]

Entonces, aplicando el teorema de L’Hospital (ideado por Johann Bernoulli), es decir, diferenciando el numerador y el denominador wrt [matemáticas] x [/ matemáticas], obtenemos,

[matemáticas] \ displaystyle L = \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {2 \ tan (x) \ sec ^ 2 (x)} {2x \ cos (x ^ 2)} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = [\ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {\ tan (x)} {x}] [\ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {\ sec ^ 2 (x)} {\ cos (x ^ 2)}] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {\ tan (x)} {x} [/ matemáticas] (Como [matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {\ sec ^ 2 (x)} {\ cos (x ^ 2)} = 1 [/ matemáticas])

Como de nuevo en [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] el límite se pone en forma intermedia [matemáticas] \ dfrac {0} {0} [/ matemáticas]

Entonces, nuevamente aplicando el teorema de L’Hospital

[matemáticas] \ displaystyle L = \ lim_ {x \ a 0} \ sec ^ 2 (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 [/ matemáticas]

Answer 2

Usa la aproximación de ángulo pequeño

Para [matemática] x \ aprox 0 [/ matemática], [matemática] \ sin x \ aprox \ tan x \ aprox x \ etiqueta * {} [/ matemática]

[matemáticas] \ begin {align} L & = \ lim_ \ limits {x \ to 0} \ dfrac {\ tan ^ 2x} {\ sin x ^ 2} \\ & = \ lim_ \ limits {x \ to 0} \ dfrac {(\ tan x) ^ 2} {\ sin x ^ 2} \\ & = \ lim_ \ limits {x \ a 0} \ dfrac {(x) ^ 2} {x ^ 2} \\ & = 1 \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Answer 3

Usando la regla de L’Hôpital obtendremos Lim (2 * tan (x) / cos ^ 2 (x)) / (cos (x ^ 2) * 2x) = (tan (x) / (cos ^ 2 (x) *) cos (x ^ 2) * x) = (sin (x) / (cos ^ 3 (x) * cos (x ^ 2) * x). Usando la regla de L’Hôpital por segunda vez. Sabemos derivadas del producto de funciones ( f (x) * g (x) * h (x)) ‘= f’ (x) * g (x) * h (x) + f (x) * g ‘(x) * h (x) + f (x) * g (x) * h ‘(x). Así que en la derivada del denominador obtendremos la función seno en casi todos los elementos de esta suma, excepto el elemento cuando diferenciamos x. Otros elementos tienen función seno, por lo que será igual a 0 cuando x se acerque al límite 0. Entonces obtendremos Lim (cos (x) / (cos ^ 3 (x) * cos (x ^ 2)) = Lim (1/1) = 1