El seno y el coseno se tambalean entre [matemáticas] -1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Llegan a estos puntos extremos una vez cada uno durante cada período [matemático] 360 ^ \ circ [/ matemático]. Todos los demás valores alcanzan dos veces por período, una vez hacia arriba y otra hacia abajo.
El coseno es par, lo que significa [matemáticas] \ cos (- x) = \ cos x. [/ Matemáticas] Vemos la simetría de la gráfica en reflexión a través del eje y.
Sabemos que el coseno tiene un período de [matemáticas] 360 ^ \ circ. [/ Matemáticas] Entonces, para enteros [matemáticas] k [/ matemáticas] sabemos
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[matemáticas] \ def \ k {k \, 360 ^ \ circ} \ cos x = \ cos (x + \ k) [/ matemáticas]
Debido a la uniformidad, podemos escribir
[matemáticas] \ cos x = \ cos (\ pm x + \ k) [/ matemáticas]
Entonces cuando tenemos la ecuación
[matemáticas] \ cos x = \ cos a [/ matemáticas]
la solucion es
[matemáticas] x = \ pm a + \ k \ quad [/ matemáticas] para entero [matemáticas] k [/ matemáticas]
Sabemos que seno es impar, lo que significa [matemática] \ sin (-x) = – \ sen x, [/ matemática], por lo que no obtenemos la misma simetría de reflexión a través del eje y. En cambio, lo obtenemos alrededor de [matemáticas] 90 ^ \ circ [/ matemáticas] y [matemáticas] -90 ^ \ circ [/ matemáticas] y [matemáticas] \ pm270 ^ \ circ [/ matemáticas] y así sucesivamente.
Debido a esta simetría, el hecho importante es que los ángulos suplementarios tienen el mismo seno:
[matemáticas] \ sin (180 ^ \ circ -x) = \ sin x [/ matemáticas]
Entonces la solución para
[matemáticas] \ sin x = \ sin a [/ matemáticas]
es [matemática] x = a + \ k [/ matemática] o [matemática] x = 180 ^ \ circ – a + \ k [/ matemática]
No es muy conveniente combinarlos en una sola expresión, pero podemos hacerlo. Una expresión multivalor que se evalúa como [matemática] a [/ matemática] y [matemática] 180 ^ \ circ – a [/ matemática] es [matemática] 90 ^ \ circ \ pm (90 ^ \ circ – a). [/ Matemática ] Así podemos escribir
[matemáticas] x = 90 ^ \ circ \ pm (90 ^ \ circ – a) + \ k [/ matemáticas]
como la solución general a [math] \ sin x = \ sin a. [/ math] Pero generalmente la forma “o” es más fácil de entender. Una notación de conjunto informal también funciona:
[matemáticas] x = \ {a, 180 ^ \ circ – a \} + \ k [/ matemáticas]
Como [math] 90 ^ \ circ – a [/ math] es el ángulo complementario de [math] a [/ math], y por lo tanto satisface
[matemáticas] \ sin a = \ cos (90 ^ \ circ – a) [/ matemáticas]
La solución a [math] \ sin x = \ cos a [/ math] es
[matemáticas] x = \ pm a + 90 ^ \ circ + \ k [/ matemáticas]
Finalmente podemos llegar a la pregunta en cuestión. El seno cero o coseno es un caso especial debido a la simetría. Tenemos
[matemáticas] \ cos x = 0 = \ cos 90 ^ \ circ [/ matemáticas]
así que por la discusión anterior
[matemáticas] x = \ pm 90 ^ \ circ + \ k \ quad [/ matemáticas]
Debido a la simetría en [matemáticas] 90 ^ \ circ [/ matemáticas], esto sucede para repetir cada [matemáticas] 180 ^ \ circ [/ matemáticas] para que podamos escribir
[matemáticas] x = 90 ^ \ circ + k \, 180 ^ \ circ [/ matemáticas]
con el entendimiento de que [matemática] k [/ matemática] aquí es diferente a la [matemática] k [/ matemática] anterior, aunque ambas se extienden sobre los enteros.
