¿Hay alguna manera de derivar una fórmula para la aceleración centrípeta dada la gráfica de posición [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 = 1 [/ matemática]?

Answer 1

La aceleración es una entidad cinética, por lo tanto, esta ecuación carece de un hecho importante: su dependencia del tiempo.
Si considera alguna versión paramétrica, por ejemplo, considere las siguientes posiciones [matemáticas] x = r \, cos (\ omega t) [/ matemáticas] y [matemáticas] y = r \, sin (\ omega t) [ / math] entonces estas ecuaciones satisfacen la ecuación antes mencionada cuando [math] r = 1 [/ math].

Luego, con estas posiciones, puede determinar los componentes de la velocidad y los componentes de la aceleración, suponiendo que la velocidad angular [matemática] \ omega = const [/ matemática] simplemente calcula las derivadas de la siguiente manera

[matemáticas] \ dot {x} = – r \, \ omega \, sin (\ omega t) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dot {y} = r \, \ omega \, cos (\ omega t) [/ matemáticas]

y finalmente

[matemáticas] \ ddot {x} = – r \, \ omega ^ 2 cos (\ omega t) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ddot {y} = -r \, \ omega ^ 2 sin (\ omega t) [/ matemáticas]

Las últimas derivadas de segundo orden son los componentes de un vector que tiene magnitud [matemática] \ omega ^ 2 \, r [/ matemática] y centrípeto (signo menos) como debe ser.

Answer 2

A2A, gracias.

Saber que la trayectoria es un círculo no es suficiente. La aceleración es la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo. Por lo tanto, se nos debe dar la posición en función del tiempo (es decir, una parametrización del círculo en el tiempo).

Answer 3

Esto es bastante simple de derivar:

vector de posición como función del tiempo x = cos (wt), y = sin (wt) donde w es la velocidad angular.

d2x / dt2 = -w ^ 2 * cos (wt), d2y / dt2 = -w ^ 2 * sin (wt)

d2x / dt2 = -w ^ 2 * x, d2y / dt2 = -w ^ 2 * y

magnitud de aceleración = sqrt (w ^ 4x ^ 2 + w ^ 4y ^ 2) = w ^ 2 * 1

Answer 4

Esta es la gráfica de un círculo con radio 1, dado solo esta gráfica y sin dependencia del tiempo, no tendrá la velocidad de la partícula. Para la aceleración centrípeta, [matemáticas] a = \ frac {v ^ 2} {r} [/ matemáticas]

Sí conocemos el valor de r, pero el valor desconocido de v no nos permite encontrar la aceleración centrípeta.

Answer 5

A2A: No. Debe conocer la velocidad angular y las unidades que se utilizan para medir la distancia.