[matemáticas] (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) = 15 [/ matemáticas]. ¿Cuál es el valor de [matemáticas] x [/ matemáticas]?

Answer 1

Deje [math] y = x + 3.5 [/ math] (eligiendo 3.5 para este cambio de variables ya que es el punto medio de los valores 2, 3, 4, 5). Entonces [matemáticas] (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) = (y – 1.5) (y – 0.5) (y + 0.5) (y + 1.5) = (y ^ 2 – 0.5 ^ 2) (y ^ 2 – 1.5 ^ 2) [/ matemática].

Luego, deje que [math] z = y ^ 2 – 1.25 [/ math] (elija 1.25 para este cambio de variables, ya que es el punto medio de 0.5 ^ 2 = 0.25 y 1.5 ^ 2 = 2.25). Entonces, nuestra expresión es a su vez igual a [math] (z + 1) (z – 1) = z ^ 2 – 1 [/ math].

Ahora, queremos resolver que nuestra expresión sea igual a [math] 15 [/ math], por lo que obtenemos [math] z ^ 2 – 1 = 15 [/ math], es decir, [math] z ^ 2 = 16 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] z = \ pm 4 [/ matemáticas]. Lo que significa [matemáticas] \ pm 4 = y ^ 2 – 1.25 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] y = \ pm \ sqrt {1.25 \ pm 4} [/ matemáticas]. Lo que significa [matemáticas] \ pm \ sqrt {1.25 \ pm 4} = x + 3.5 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] x = -3.5 \ pm \ sqrt {1.25 \ pm 4} [/ matemáticas].

Esto nos da nuestras cuatro soluciones (en el contexto de números complejos) y, de hecho, deja en claro cómo resolver este problema de manera más general si [math] 15 [/ math] se reemplazara por cualquier otro valor.

[Si lo desea, podemos reorganizar [matemáticas] -3.5 \ pm \ sqrt {1.25 \ pm 4} [/ matemáticas] sacando un factor de 1/2 de todo (convirtiéndose en un factor de 1/2 ^ 2 = 1/4 extraído del interior de la raíz cuadrada), reescribiéndola como [math] \ left (-7 \ pm \ sqrt {5 \ pm 16} \ right) / 2 [/ math]. No hay una diferencia real, pero algunos pueden encontrarlo estéticamente más agradable escrito de esta manera …]

Answer 2

[matemáticas] (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) = 15 [/ matemáticas]

Reorganizar para obtener la suma de constantes para que sea [matemática] 7 [/ matemática]

[matemática] \ izquierda [(x + 2) (x + 5) \ derecha] \ izquierda [(x + 3) (x + 4) \ derecha] = 15 [/ matemática]

[matemática] \ left ({{x} ^ {2}} + 7x + 10 \ right) \ left ({{x} ^ {2}} + 7x + 12 \ right) = 15 [/ math]

Deje que [matemáticas] {{x} ^ {2}} + 7x = y [/ matemáticas]

La ecuación se convierte

[matemática] \ left (y + 10 \ right) \ left (y + 12 \ right) = 15 [/ math]

[matemática] \ izquierda ({{y} ^ {2}} + 22y + 120 \ derecha) = 15 [/ matemática]

[matemáticas] {{y} ^ {2}} + 22y + 105 = 0 [/ matemáticas]

Usando la fórmula cuadrática, obtenemos

[matemáticas] y = -7 [/ matemáticas] y [matemáticas] y = -15 [/ matemáticas]

Sabemos que [matemáticas] {{x} ^ {2}} + 7x = y [/ matemáticas], entonces

[matemáticas] {{x} ^ {2}} + 7x = -7 [/ matemáticas] y [matemáticas] {{x} ^ {2}} + 7x = -15 [/ matemáticas]

[matemáticas] {{x} ^ {2}} + 7x + 7 = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] {{x} ^ {2}} + 7x + 15 = 0 [/ matemáticas]

Usando la fórmula cuadrática, obtenemos

[matemáticas] x = \ frac {-7 \ pm \ sqrt {21}} {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] x = – \ frac {7} {2} \ pm \ frac {\ sqrt {11} } {2} i [/ matemáticas]

Por lo tanto,

[matemáticas] x = \ left \ {\ frac {-7- \ sqrt {21}} {2}, \ frac {-7+ \ sqrt {21}} {2}, – \ frac {7} {2} – \ frac {\ sqrt {11}} {2} i, – \ frac {7} {2} + \ frac {\ sqrt {11}} {2} i \ right \} [/ math]

Answer 3

[matemáticas] (x + 2) (x + 5) = x ^ 2 + 7x + 10 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + 3) (x + 4) = x ^ 2 + 7x + 12 [/ matemáticas]

Deje [math] y = x ^ 2 + 7x + 11 [/ math]

Entonces [matemáticas] y ^ 2–1 = 15 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ pm 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + 7x + 11 = \ pm 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + 7x + 15 = 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] x ^ 2 + 7x + 7 = 0 [/ matemáticas]

El primero da raíces complejas y el segundo raíces reales.

Nota: no había visto el comentario de Frank Wei.

Answer 4

Como los factores tienen una simetría alrededor de [matemáticas] x + 7/2 [/ matemáticas], un cambio simplificará la ecuación. De hecho, con [matemáticas] y = x + 7/2 [/ matemáticas] tenemos [matemáticas] (y ^ 2–9 / 4) (y ^ 2–1 / 4) = 15 [/ matemáticas].

Esta es una ecuación cuadrática en [matemáticas] y ^ 2 [/ matemáticas]. Después de resolver para [matemática] y ^ 2 [/ matemática], [matemática] x [/ matemática] seguirá.

Answer 5

Reorganizar los soportes →

(x + 2) (x + 5) (x + 3) (x + 4) = 15

(x² + 7x + 10) (x² + 7x + 12) = 15

(x² + 7x + 10) (x² + 7x + 10 + 2) = 15

y (y + 2) = 15 … y = (x + 2) (x + 5) = x² + 7x + 10

y² + 2y-15 = 0

(y-3) (y + 5) = 0

y = 3 o y = -5

x² + 7x + 10 = 3 o -5 【reemplazar con x’s】

x² + 7x + 7 = 0 o x² + 7x + 15 = 0

x = (- 7 ± √21) / 2 o x = (- 7 ± i√11) / 2

Answer 6

.

Simplemente escríbalo en su software gratuito gratuito Computer Algebra System (CAS) para encontrar las 4 raíces (2 reales, 2 complejas):

… O si no tiene un CAS instalado en su computadora,

solo usa Wolfram Alpha :

… O si quieres ver lo que está sucediendo y solo necesitas las raíces reales,

Use su software de gráficos gratuito favorito para encontrar

x = -5.79128785

y

x = -1.20871215:

Answer 7

[matemáticas] (x + 2) (x + 5) = x ^ 2 + 7x + 10 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + 3) (x + 4) = x ^ 2 + 7x + 12 [/ matemáticas]

vamos [matemáticas] u = x ^ 2 + 7x [/ matemáticas], podemos obtener: [matemáticas] (u + 10) (u + 12) = 15 [/ matemáticas]

puede encontrar el valor de u, y luego el valor de x.