Cómo encontrar el número más grande entre: [matemáticas] 2 ^ {1/2}, 3 ^ {1/3}, 4 ^ {1/4}, 5 ^ {1/5}, 6 ^ {1/6} [/ math] sin usar una calculadora

Answer 1

Método 1

Si tiene números [matemáticos] n [/ matemáticos] entre los cuales desea encontrar el mayor, ¿cómo lo haría con la menor cantidad de comparaciones?

Para [matemática] a, b> 1 [/ matemática], si [matemática] a> b [/ matemática], entonces claramente [matemática] a ^ n> b ^ n [/ matemática] también. Entonces, en lugar de calcular las raíces de estos números para comparar, podríamos obtener la respuesta simplemente planteando el mínimo común múltiplo de potencias.

Por ejemplo, [matemáticas] 3 ^ {1/3} \ text {y} 4 ^ {1/4} [/ matemáticas] tendría la misma relación que [matemáticas] 3 ^ {12/3} = 3 ^ 4 = 81 [/ matemáticas] y [matemáticas] 4 ^ {12/4} = 4 ^ 3 = 64 [/ matemáticas]. Entonces vemos que [matemáticas] 3 ^ {1/3} [/ matemáticas] es mayor.

Pero no queremos hacer esto con cada par, ya que cada comparación es costosa y queremos minimizar el número total de comparaciones.

Si comparamos cada par, necesitaremos {n \ choose 2} comparaciones, lo cual es mucho. En cambio, si encontramos el mejor entre los dos primeros, usamos este y el tercero para encontrar el mejor entre los tres y así sucesivamente, podríamos hacerlo solo con comparaciones [matemáticas] n-1 [/ matemáticas].

Siguiendo el ejemplo anterior, si lo hicimos para todos ellos, el mayor exponente que deberá evaluar es [matemática] 3 ^ 5 [/ matemática]. [matemáticas] 3, 9, 27, 81, 243 [/ matemáticas]. Creo que puedes resolver esto en tu cabeza.

Método 2

En general, tenemos [matemáticas] x ^ {1 / x} [/ matemáticas] y queremos saber dónde está la función más grande. Si sabemos qué tendencias exhibe, esto debería ser fácil.

Las regiones de crecimiento y declive se identifican al encontrar la derivada.

[matemáticas] \ frac {d} {dx} x ^ {1 / x} = x ^ {1 / x – 2} (1 – \ log (x)) [/ matemáticas].

Como se puede ver, [matemática] \ log (x)> 1 [/ matemática] para [matemática] x> e [/ matemática] y [matemática] \ log (x) <1 [/ matemática] para [matemática] x <e [/ matemáticas]. Entonces, la función está creciendo (tiene pendiente positiva) debajo de [math] e [/ math] y disminuyendo después de [math] e [/ math]. Es, entonces, máximo en [/ math] e [/ math].

Por lo tanto, la función [/ math] x ^ {1 / x} [/ math] es máxima en [/ math] e [/ math].

Dado que [matemáticas] 2 <e <3 [/ matemáticas], solo necesitamos comparar [matemáticas] 2 ^ {1/2} [/ matemáticas] y [matemáticas] 3 ^ {1/3} [/ matemáticas]. Sabemos cómo hacerlo desde el método 1.

Una cosa a tener en cuenta sobre este método es la cantidad de conocimiento previo que esto requiere. Necesitará conocer la diferenciación, los límites, los logaritmos y, en algún momento, tendré que sacar [matemáticas] e [/ matemáticas] de un sombrero para seguir la larga tradición de la mayoría de los maestros que arruinan esta parte. estudiantes

Answer 2

Gracias por el A2A!

Tenga en cuenta que [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} x ^ {1 / x} = 1 [/ math] (esto no es necesario, pero ayuda a mostrar que los más grandes serán más pequeños) . Tomando la derivada de [matemáticas] x ^ {1 / x} [/ matemáticas]:

[matemáticas] (x ^ {1 / x}) ‘= – x ^ {1 / x-2} (\ ln {x} -1) [/ matemáticas]

Configurando esto en [matemáticas] 0 [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ ln {x} -1 = 0 \ Longleftrightarrow \ ln {x} = 1 \ Longleftrightarrow x = e [/ math]

Entonces, hay un extremo en [math] x = a [/ math], y resulta ser un máximo. Entonces, esto deja para averiguar si [math] 2 ^ {1/2} [/ math] o [math] 3 ^ {1/3} [/ math] es más grande. Elevar ambos al poder de [matemáticas] 6 [/ matemáticas]:

[matemáticas] 2 ^ 3 = 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 ^ 2 = 9 [/ matemáticas]

Entonces el máximo es [matemática] 3 ^ {1/3} [/ matemática].

Answer 3

A2A: Si toma la derivada de [matemáticas] f (x) = x ^ {1 / x} [/ matemáticas], verá que aumenta para [matemáticas] x e [/ matemáticas]. Por lo tanto, el máximo debe ocurrir para [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas] o [matemáticas] x = 3 [/ matemáticas]. Puede comparar ese par fácilmente sin una calculadora elevando cada uno a la potencia 6.

Answer 4

Lleva los dos primeros números a la potencia 6. Ahora estás viendo 8 y 9, entonces 3 ^ (1/3) es más grande. Tomar la 4ª potencia del primer y tercer número muestra que son iguales. Sigue con esta bolsa de trucos y la peor aritmética con la que te encuentras es 243 versus 125. El ganador es 3 ^ (1/3).

O podrías usar cálculo. Maximizar x ^ (1 / x). Obtienes x = e = 2.71828 y 3 vuelven a ganar.

Answer 5

Puede que esta no sea la técnica más eficiente, pero puede usar el hecho de que si para números reales x, y> 1, la relación x ^ n> y ^ n es equivalente a x> y.

Por ejemplo: 2 ^ 3 <3 ^ 2 significa que 2 ^ (1/2) <3 ^ (1/3). En este ejemplo, ambos lados de la desigualdad se han elevado a la sexta potencia. Siguiendo este esquema, puede comparar los números en pares y encontrar qué número es el mayor.

Answer 6

[matemáticas] {n} ^ {\ frac {1} {n}} [/ matemáticas] es mayor cuando n = e, la base de logaritmo natural.

El gráfico a partir de [matemáticas] \ sqrt [1] {1}, \ sqrt {2}, \ sqrt [3] {3}, \ sqrt [4] {4}, \ sqrt [5] {5}…. [/ math] a partir de 1 alcanza el valor más alto en [math] \ sqrt [e] {e} [math] y cae a un valor un poco más de 1.

El valor es aproximadamente 1.444667861 …

Answer 7

A = 2 ^ ½ = (2³) ^ (1/6)

B = 3 ^ (1/3) = (3²) ^ (1/6)> A, B = 9 ^ (1/6) = 9 ^ 5 ^ (1/30) = (9 × 81²) ^ 1 / 30> D

C = 4 ^ ¼ = (2²) ^ ¼ = 2 ^ ½ = A

D = 5 ^ (1/5) = (5 ^ 6) ^ (1/30)> E 【5 ^ 6> 6 ^ 5】 …… (3125) ^ (1/30)

E = 6 ^ (1/6) = (6 ^ 5) ^ (1/30)

B es el mayor de los 5 números

Answer 8

Eleve cada muber individual hasta el 120. Luego puedes multiplicar los exponentes para obtener exponentes de números enteros. Luego multiplica los números. 2 ^ 60 3 ^ 40 4 ^ 30 5 ^ 24 y 6 ^ 20. Es un dolor en el trasero. Tantas cosas son sin una calculadora.

Answer 9

Elevar cada uno al poder de 6

[matemáticas] 2 ^ {3}, 3 ^ {2}, 4 ^ {3/2}, 5 ^ {6/5}, 6 [/ matemáticas]

=

8, 9, 8, 5 ^ (6/5), 6

El cuarto término es definitivamente menor que 9.

El número más grande es el segundo término.

Answer 10

Está claro que los números se hacen más pequeños en el extremo superior.
Siguiente 2 ^ 1/2 = 4 ^ 1/4 por lo que hay un máximo (inflexión) entre ellos y el único punto posible es un 3.