¿Recuerdas cuando te enteraste de los logaritmos y la “regla de caída de exponentes” estaba en la pizarra?
Su maestro puede haber escrito algo como: “[matemáticas] log_ {2} 3 ^ 2 = 2 * log_ {2} 3 [/ matemáticas]”, y todos estaban contentos y no prestaron mucha atención al hecho de que el registro La función es la inversa de la función exponencial .
¿Por qué es importante la última declaración? Bueno, la función exponencial asigna los números reales a los números reales positivos; en otras palabras, su dominio es [math] \ mathbb {R} [/ math] y el rango es [math] \ mathbb {R} _ {+} ^ {*} [/ math]. El inverso de una función cambia el rango y el dominio de dicha función, por lo que la función logarítmica asigna los números reales positivos a la totalidad de la recta numérica real.
De acuerdo, teniendo esta noción a nuestro alcance, tenga en cuenta que, en principio, las funciones básicas de registro ([math] log_ {a} x [/ math], [math] a> 0 [/ math] y [math] a \ neq 1 [ / math]) no acepta argumentos negativos debido a las razones indicadas anteriormente. Sin embargo, hay formas de convertir números negativos en números positivos, y aquí es donde la regla del exponente comienza a fallar.
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Por ejemplo, supongamos que queremos calcular [math] log_ {2} (- 3) ^ 2 [/ math]. No podemos dejar caer el exponente, de lo contrario tenemos la expresión [math] 2 * log_ {2} (- 3) [/ math] y esto no tiene ningún sentido porque, como mostramos, la función de registro estándar no acepta argumento negativo
Lo que podemos hacer es primero cuadrar el número, para obtener [math] log_ {2} 9 [/ math]. Ahora, [matemáticas] 9 = 3 ^ 2 [/ matemáticas], entonces tenemos [matemáticas] log_ {2} 3 ^ 2 [/ matemáticas]; entonces podemos soltar esto para obtener [math] 2 * log_ {2} 3 [/ math], y esto tiene sentido.
“Pero bueno, si la regla de caída de exponente no funciona, ¿eso significa que me han mentido?” Como trabajamos principalmente con argumentos positivos todo el tiempo, generalmente no es un gran problema en sí mismo, especialmente porque la exponenciación es un desastre cuando tratamos con números negativos, por lo que tendemos a ignorarlos.
Sin embargo, en los casos especiales donde la potencia es un número par, la regla de caída del exponente debe modificarse ligeramente para que siempre obtengamos el argumento correcto: [matemáticas] log_ {a} (x ^ {2n}) = 2n * log_ {a} | x | [/ math], donde [math] n \ in \ mathbb {N} [/ math].
Entonces, en nuestro caso, mira los gráficos:
- [matemáticas] log (x ^ 2) [/ matemáticas]:
- [matemáticas] 2 * log (x) [/ matemáticas]:
Y esto es lo que está pasando.
