Supongo que la expresión [matemática] x / y [/ matemática] implica la existencia de una [matemática] \ frac {1} {y} [/ matemática] tal que [matemática] \ frac {1} {y} y = y \ frac {1} {y} = 1 [/ matemática]. Esta es una suposición bastante grande, pero es difícil hacer un progreso real sin ella.
Si [matemática] x + y = x – y [/ matemática] entonces [matemática] 2y = 0 [/ matemática]. En el tipo de álgebra de buen comportamiento donde la división está generalmente disponible, eso significa [matemáticas] 2 = 0 [/ matemáticas] (no se ría, esto es posible) o [matemáticas] y = 0 [/ matemáticas]. La pregunta pide soluciones reales, así que seguiremos viendo el último caso.
Si [matemática] 2 \ neq 0 [/ matemática], entonces [matemática] xy = 0 [/ matemática] y [matemática] x – y [/ matemática] y [matemática] x + y [/ matemática] deben ser ambos cero , entonces [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]. Esta no es una solución “adecuada” en general, ya que [matemática] x / y [/ matemática] no está definida, pero uno puede torturarla un poco al observar que, después de todo, [matemática] 0y = x [/ matemática ] No está definido (por lo general), pero es posible elegir un valor sin contradicción (por supuesto, si va a hacer esto, uno puede elegir otro valor contradictorio para el cociente).
El anillo cero en realidad nos permite tener una solución limpia [matemática] x = y = 0 [/ matemática], porque la multiplicación es invertible. En cualquier otro anillo, [matemática] 1 [/ matemática] no es [matemática] 0 [/ matemática], e ignoraré este caso de aquí en adelante.
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Esto es lo más cerca que llegaremos a una solución en [math] \ R [/ math]. Funciona, en la medida en que funciona, en [math] \ R [/ math].
Veamos las otras posibilidades. La característica [matemática] 2 [/ matemática] parece tentadora, al igual que [matemática] y ^ 2 = 1 [/ matemática], pero procedamos con más cautela.
Si tenemos [math] x = 0 [/ math], volveremos a [math] y = 0 [/ math] una vez más. De otra manera…
Volver a lo básico. Asumir un anillo distinto de cero. Tenga en cuenta que [math] y [/ math] en este caso no es cero.
Se nos da
[matemáticas] xy = x / y = x + y = x – y [/ matemáticas]
Vemos de inmediato, multiplicando por [matemáticas] y [/ matemáticas], que
[matemáticas] xy ^ 2 = x (\ frac {1} {y}) y = x.1 = x [/ matemáticas]
multiplicando por [matemáticas] \ frac {1} {y} [/ matemáticas] en su lugar, tenemos
[matemáticas] x = xy \ frac {1} {y} = x \ frac {1} {y} + y \ frac {1} {y} = x \ frac {1} {y} + 1 [/ matemáticas]
Multiplique esto por [matemáticas] y [/ matemáticas]:
[matemáticas] xy = x + y = x \ frac {1} {y} + 1 + y [/ matemáticas]
Y multiplique por [math] y [/ math] una vez más:
[matemáticas] xy ^ 2 = x + y + y ^ 2 [/ matemáticas]
Pero ya sabemos que [matemáticas] xy ^ 2 = x [/ matemáticas]. Restando,
[matemáticas] 0 = y + y ^ 2 [/ matemáticas]
Multiplicando por [matemáticas] \ frac {1} {y} [/ matemáticas] nuevamente,
[matemáticas] 0 = 1 + y [/ matemáticas]
[matemáticas] y = -1 [/ matemáticas]
Observe (no sorprende aquí) que para todos [matemáticas] a [/ matemáticas] en el ring
[matemáticas] ay + a = ay + a.1 = a (y + 1) = a.0 = 0 [/ matemáticas]
Por lo tanto
[matemáticas] ay = ay + 0 = ay + (a + -a) = (ay + a) + -a = 0 + -a = -a [/ matemáticas]
[matemáticas] y.-1 = -1.y = -y = 1 [/ matemáticas] entonces (por unicidad) [matemáticas] \ frac {1} {y} = y = -1 [/ matemáticas]
Aquí está el conjunto de ecuaciones dado una vez más:
[matemáticas] xy = x / y = x + y = x – y [/ matemáticas]
[matemáticas] -x = x – 1 = x + 1 [/ matemáticas]
Tenemos [matemáticas] 2 = 0 [/ matemáticas], como pensamos que podríamos. Pero luego también tenemos (otro resultado elemental familiar)
[matemáticas] -a = -a + 0 = -a + 0.a = -a + 2.a = -a + (1 + 1) a = -a + (a + a) = (-a + a) + a = 0 + a = a [/ math] para todos [math] a [/ math] en el ring.
[matemáticas] x = x – 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] x + 1 = x [/ matemáticas]
[matemáticas] 1 = x + -x = 0 [/ matemáticas]
y estamos de vuelta en el anillo cero nuevamente, una contradicción.
Entonces, las únicas soluciones en cualquier anillo, dados mis supuestos sobre el significado de [matemáticas] x / y [/ matemáticas], son para [matemáticas] x = y = 0 [/ matemáticas], que funciona correctamente en el anillo cero e incorrectamente en cualquier otro anillo.