Cómo evaluar [math] \ lim_ {n \ to + \ infty} \ sum_ {k = 1} ^ {2n} \ dfrac {n} {n ^ 2 + k} [/ math]

Answer 1

Deje [math] S = \ lim_ {n \ to + \ infty} \ sum_ {k = 1} ^ {2n} \ frac {n} {n ^ 2 + k} [/ math]

Suponga que [matemáticas] S_n = \ sum_ {k = 1} ^ {2n} \ frac {n} {n ^ 2 + k} [/ matemáticas]

Como, [math] n ^ 2 + k> n ^ 2 \ forall n, k \ in \ mathbb {N} [/ math]

[matemáticas] \ implica \ frac {1} {n ^ 2 + k} <\ frac {1} {n ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ frac {n} {n ^ 2 + k} <\ frac {n} {n ^ 2} [/ matemáticas]

Como, [matemáticas] n ^ 2 + 2n + 1> n ^ 2 + k \, \, \ forall k \ leq 2n \, \, [/ math] y [math] \, \, \ forall n [/ math ], [matemáticas] k \ in \ mathbb {N} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ frac {1} {n ^ 2 + 2n + 1} <\ frac {1} {n ^ 2 + k} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ frac {n} {n ^ 2 + 2n + 1} <\ frac {n} {n ^ 2 + k} [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {2n} \ frac {n} {n ^ 2 + 2n + 1} <\ sum_ {k = 1} ^ {2n} \ frac {n} {n ^ 2 + k} <\ sum_ {k = 1} ^ {2n} \ frac {1} {n} [/ math]

[matemáticas] \ implica \ frac {2n ^ 2} {(n + 1) ^ 2} <S_n <\ frac {2n} {n} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ lim_ {n \ to + \ infty} 2 (\ frac {n} {n + 1}) ^ 2 <\ lim_ {n \ to + \ infty} S_n <\ lim_ {n \ to + \ infty} 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 2 <S <2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica S = \ lim_ {n \ to + \ infty} \ sum_ {k = 1} ^ {2n} \ frac {n} {n ^ 2 + k} = 2 [/ matemáticas]

Answer 2

¿Se ha cambiado la pregunta? Si tiene el anterior fue más interesante.

De todos modos, en esta pregunta necesita agregar algunas funciones racionales de [matemáticas] n [/ matemáticas] donde [matemáticas] n [/ matemáticas] tiende al infinito. Entonces usamos un truco, dividimos el numerador y el denominador entre [math] n [/ math].

[matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {2n} \ frac {1} {n + \ frac {k} {n}} [/ matemáticas]

La motivación detrás de esto es que el numerador se vuelve simple y la parte [matemática] \ frac {k} {n} [/ matemática] en el denominador tiene límites simples. Y vamos a utilizar esos límites para exprimir nuestra suma entre dos límites más fáciles.

[matemáticas] 0 \ leq \ frac {k} {n} \ leq 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] n \ leq n + \ frac {k} {n} \ leq n + 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {n} \ geq \ frac {1} {n + \ frac {k} {n}} \ geq \ frac {1} {n + 2} [/ matemáticas]

Ahora sumamos estas desigualdades de [matemáticas] k = 1 [/ matemáticas] a [matemáticas] k = 2n [/ matemáticas].

[matemáticas] \ frac {2n} {n} \ geq \ sum_ {k = 1} ^ {2n} \ frac {1} {n + \ frac {k} {n}} \ geq \ frac {2n} {n + 2 }[/matemáticas]

Y he aquí, ambos límites tienden a [matemática] 2 [/ matemática] como [matemática] n [/ matemática] tiende al infinito. Entonces la respuesta es [matemáticas] 2 [/ matemáticas].

Espero que esto ayude.

[Nota: la mayoría de las desigualdades son realmente estrictas, pero para el teorema de Squeeze, la rigurosidad es irrelevante]

Answer 3

A menudo me preguntan en correos electrónicos cómo avanzar para dominar las matemáticas vitales para obtener una tarea en finanzas cuantitativas o ciencia de los hechos si no es factible pasar a la universidad. Este boletín es una reacción a tales correos electrónicos.

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