¿Cómo se muestra [math] \ lim_ {x \ rightarrow a} \ sin (\ sqrt {x}) = \ sin (\ sqrt {a}) [/ math] usando una definición precisa de límite?

Answer 1

¿Cómo se muestra [math] \ lim_ {x \ to a} \ sin⁡ (\ sqrt {x}) = sin⁡ (\ sqrt {a}) [/ math] usando una definición precisa de límite?

Normalmente uno no probaría esto directamente. Una vez que haya establecido que la función de raíz cuadrada es continua para [math] x [/ math] positiva y la función seno es continua, puede usar el hecho de que la composición de funciones continuas es continua.

Sin embargo, solicitó utilizar la definición de un límite. Por lo tanto, debe probar los tres hechos anteriores directamente o mostrar que, dado [matemática] \ epsilon> 0 [/ matemática], puede encontrar [matemática] \ delta> 0 [/ matemática] tal que [matemática] | \ sin⁡ (\ sqrt {y}) – \ sin⁡ (\ sqrt {x}) | <\ epsilon [/ math] cuando [math] | y – x | <\ delta [/ math].

Prefiero el primer método, pero cuando solicite usar la definición de un límite, úselo para probar los tres hechos anteriores. De hecho, ¿por qué no probar un conjunto completo de propiedades de funciones continuas (suma, diferencia, producto, cociente (bajo ciertas condiciones)? Entonces puede usarlas según sea necesario.

Probemos que [math] \ sin x [/ math] es continuo. Primero [math] \ sin y – \ sin x = 2 \ sin (\ frac12 (yx)) \ cos (\ frac12 (y + x)) [/ math]. Luego debe probar que la función seno es continua en cero. Ese es un resultado estándar usando un poco de geometría. Luego use el hecho de que la función coseno está limitada.

La forma más fácil de tratar con la función de raíz cuadrada (positiva) es probar primero la continuidad de su inverso.

Verá que probar funciones complejas continuas será mucho más fácil si se divide en funciones más simples. El trabajo adicional para probar los teoremas en combinaciones de funciones continuas vale la pena porque puede reutilizarlas.

Answer 2

Primero establece la desigualdad

[matemáticas] | \ sin (y) – \ sin (z) | \ leq | yz | [/ math]

Una vez que haya demostrado eso, suponga primero que [math] a \ neq 0. [/ math] Seleccione [math] \ varepsilon> 0 [/ math] y deje que [math] \ delta = \ sqrt {a} \ varepsilon [/ matemáticas].

Entonces si [matemáticas] 0 <| xa | <\ delta [/ math], encontramos

[matemáticas] | \ sin (\ sqrt {x}) – \ sin (\ sqrt {a}) \ leq | \ sqrt {x} – \ sqrt {a} | = \ frac {| xa |} {\ sqrt {x} + \ sqrt {a}} \ leq \ frac {| xa |} {\ sqrt {a}} <\ varepsilon [/ math]

Cuando [math] a = 0, [/ math] usa [math] \ delta = \ varepsilon ^ 2 [/ math] y modifica el argumento.

La primera identidad se puede establecer usando una identidad de suma de productos, como han dicho otros, o directamente a través de un argumento geométrico (más simple cuando y y z son menos que pi / 2): piense en y y z como ángulos, entonces que | yz | representa la longitud del arco entre dos puntos en el círculo unitario. Ese arco es más largo que el segmento de línea entre los puntos, y ese segmento es más largo que la distancia vertical entre los puntos, es decir, [matemática] | \ sin y – \ sin z | [/ matemática]

Answer 3

Al notar que [math] x \ mapsto \ mathrm {sin} ([/ math] [math] x ^ {\ frac {1} {2}}) [/ math] es continuo. (solo para un determinado dominio, por supuesto)