Si [math] f: A \ to B [/ math], [math] g: B \ to C [/ math] y [math] g \ circ f [/ math] es invertible, entonces, ¿cómo demuestro que [math] ] g [/ math] está en y [math] f [/ math] es one-one?

Answer 1

Dado que [math] g \ circ f: A \ to C [/ math] es invertible, necesitamos mostrar que [math] g: B \ to C [/ math] está en y [math] f: A \ to B [/ math] es uno a uno.

• Deje que [math] y \ en C [/ math] sea arbitrario. Necesitamos mostrar la existencia de alguna [matemática] x \ en B [/ matemática] tal que [matemática] g (x) = y [/ matemática]. Como [math] g \ circ f [/ math] es invertible, la función [math] g \ circ f [/ math] está activada. En otras palabras, por cada [matemática] \ alpha \ en C [/ matemática], hay alguna [matemática] \ beta \ en A [/ matemática] tal que [matemática] g \ circ f (\ beta) = \ alfa [/ math], es decir, [math] g (f (\ beta)) = \ alpha [/ math]. En particular, para [matemática] y \ en C [/ matemática], hay [matemática] z \ en A [/ matemática] tal que [matemática] g (f (z)) = y [/ matemática]. Pero tenemos [matemáticas] f (z) \ en B [/ matemáticas]. Configurando [math] x: = f (z) [/ math], tenemos [math] g (z) = y [/ math]. Como [math] y [/ math] era arbitrario, esto es cierto para cada [math] y \ en C [/ math]. Por lo tanto [math] g [/ math] está en.
• Deje [math] x, y \ en A [/ math] tal que [math] x \ neq y [/ math]. Como [math] g \ circ f [/ math] es invertible, la función [math] g \ circ f [/ math] es one-one. Por lo tanto, tenemos [matemáticas] g \ circ f (x) \ neq g \ circ f (y) [/ math], es decir, [matemáticas] g (f (x)) \ neq g (f (y)) [/ matemáticas]. De esto podemos concluir que [matemáticas] f (x) \ neq f (y) [/ matemáticas] – porque si [matemáticas] f (x) = f (y) [/ matemáticas], entonces [matemáticas] g (f (x)) = g (f (y)) [/ math], una contradicción. Por lo tanto, tenemos [math] f (x) \ neq f (y) [/ math] siempre que [math] x \ neq y [/ math]. Por lo tanto, [math] f [/ math] es uno a uno.

Answer 2

[math] g \ circ f [/ math] es invertible significa que [math] \ forall c \ in C \ existe! a \ en A [/ matemática] st [matemática] g (f (a)) = c. [/ matemática]

(1) [math] g [/ math] en: let [math] c \ in C. [/ Math] Por supuesto [math] \ existe a \ in A [/ math] st [math] g (f (a )) = c. [/ matemáticas] Dado que [matemáticas] b = f (a) \ en B [/ matemáticas] entonces tenemos [matemáticas] \ existe b \ en B [/ matemáticas] st [matemáticas] g (b) = c. [/ math] [math] c [/ math] es arbitrario, por lo que esto muestra que [math] g [/ math] está activado.

(2) [matemáticas] f [/ matemáticas] es 1–1: Suponga que [matemáticas] \ existe a, a ‘\ en A [/ matemáticas] st [matemáticas] f (a) = f (a’) [/ matemáticas ] Por lo tanto, [math] c = g (f (a)) = g (f (a ‘)). [/ Math] Por la invertibilidad de [math] g \ circ f [/ math] (la parte de unicidad) debemos tener [matemáticas] a = a ‘[/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] f [/ math] es 1–1.

Answer 3

[matemática] g \ cdot f [/ matemática] es invertible significa [matemática] g (f (x)) [/ matemática] es invertible, lo que significa que [matemática] g (f (x)) [/ matemática] es uno- uno y sobre. Entonces, si hay una [matemática] g (f (x)) \ en C [/ matemática] tenemos una [matemática] x \ en A [/ matemática], pero podemos ver que f (x) se encuentra en B así que podemos decir que para algunos [math] g (f (x)) [/ math] en C definitivamente tenemos una f (x) en B, lo que hace que g sea una función on.

Para uno-uno vemos que [matemática] g (f (x)) [/ matemática] es uno, así que para [matemática] f (x) \ neq f (y) [/ matemática] nunca podremos tener [matemática] g (f (x)) = g (f (y)) [/ matemáticas]. Pero, si tomamos [matemática] x \ neq y \ en A [/ matemática] y asumimos [matemática] f (x) = f (y) [/ matemática], tendremos [matemática] g (f (x )) = g (f (y)) [/ math] que es una contradicción. Por lo tanto, f (x) nunca puede ser igual a f (y) para [matemáticas] x \ neq y [/ matemáticas] y, por lo tanto, f es uno a uno.