¿Cómo integrará e ^ x sinx dx?

Answer 1

Adjunto mi solución aquí, porque actualmente soy muy malo con Latex. Pero, esta no es la única forma en que puede resolver este problema. Mira esto,

∆ ALITER

Lo sabemos,

[matemáticas] e ^ {ix} = cos (x) + isin (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ x × (e ^ {ix}) = e ^ {x} [cos (x) + isin (x)] [/ matemáticas]

[matemáticas] => e ^ {x (i + 1)} = e ^ x [cos (x) + isin (x)] [/ matemáticas]

Ahora, integre ambos lados …

El lado izquierdo da,

[matemáticas] \ int {e ^ {x (i + 1)}} dx = [e ^ {x (i + 1)}] / {(i + 1)} + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int {e ^ {x (i + 1)}} dx = e ^ x [e ^ {ix}] / (i + 1) + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int {e ^ x [cos (x) + isin (x)]} dx = e ^ x [cos (x) + isin (x)] / (i + 1) + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int {e ^ xcos (x)} dx + i × \ int {e ^ xsin (x)} dx = e ^ x / 2 [cos (x) + sin (x)] + i × e ^ x / 2 [sin (x) – cos (x)] + C [/ matemáticas]

La parte real de la solución da la integral de [matemáticas] e ^ xcos (x) [/ matemáticas] ,

Y la parte imaginaria da la integral de [matemáticas] e ^ xsin (x) [/ matemáticas] . Exactamente lo que estamos buscando. Y sí, ¡casi lo olvido! No te olvides nunca de la constante de integración.

Answer 2

La regla IILATE no será aplicable aquí porque solo provocará complicaciones.

Considere e ^ x como su primera función y sinx como su segunda función.

Obedeciendo la fórmula para la integración de funciones de la forma uv, obtendrá,

[matemáticas] \ int e ^ {x} sin (x) \ dx [/ matemáticas]

[math] = – e ^ {x} \ int sin [/ math] [math] (x) \ dx- \ int (\ dfrac {\ mathrm d (e ^ x)} {\ mathrm dx} \ int sin ( x) \ dx) \ dx. [/ math]

= [matemáticas] -e ^ {x} cos (x) + \ int e ^ {x} cos (x) \ dx + \ text {constante c}. [/ matemáticas]

= [matemáticas] -e ^ {x} cos (x) + e ^ {x} \ int cos (x) \ dx + \ text {constante c}. [/ matemática]

= [matemáticas] -e ^ {x} cos (x) + e ^ {x} sin (x) – \ int e ^ {x} sin (x) \ dx + \ text {constante c}… (1) [/ matemáticas]

Tomando [math] \ int e ^ {x} sin (x) \ dx = I [/ math] en [math] (1) [/ math] y ajustándolo adecuadamente, obtienes,

[matemáticas] 2I = -e ^ {x} cos (x) + e ^ {x} sin (x) + \ text {constante c}. [/ matemáticas]

Por lo tanto , [matemáticas] I = -e ^ {x} cos (x) + e ^ {x} sin (x) + \ text {constante c} [/ matemáticas], es decir,

[matemáticas] \ int e ^ {x} sin (x) = e ^ {x} (sin (x) -cos (x)) + \ text {constante c}. [/ matemática]

De una manera más general, recuerde,

[matemáticas] \ int e ^ {ax} sin (bx) = \ dfrac {e ^ {ax} (asin (bx) -bcos (bx))} {(a ^ {2} + b ^ {2})} + \ text {constant c} = \ dfrac {e ^ {ax} sin (bx-tan ^ {- 1} {\ dfrac {b} {a}})} {(a ^ {2} + b ^ {2 })} + \ text {constante c}. [/ math]

(P rovided que [matemáticas] a> 1, b> 1, [/ matemáticas] donde [matemáticas] a, b [/ matemáticas] ambos son enteros).

Answer 3

Ver esto no es una integración normal … Pero puede resolverse usando la integeración por partes …

Ahora, antes que nada, para encontrar esta interacción, debes ocuparte de ambas funciones.

Como e ^ x y sinx

Ahora usamos ILATE

Trigonométrico inverso

Logarítmico

Algebraico

Trigonométrico

exponencial

Ese es el significado, ya que puedes arreglarlo con la primera función y la segunda función

Ahora usa esta fórmula para descubrir

Tenga en cuenta que f (x) = senx 1st y g (x) = e ^ x como 2nd

Int (dado) = primer fn. × (int. De segundo fn.) – int [dif. De la primera fn × int. De segunda fn . ]

Nota :

En el último paso para la fórmula, primero debe diferenciar. Primero funciona y luego multiplica con la integeración de la segunda y luego integera todas después de multiplicar …

Espero que te ayude

Todo lo mejor

¡Votación a favor!

Shobhit Sinha firmando …