Si sabemos que P (A> B)> P (B> A), y que tanto A como B están normalmente distribuidos, ¿podemos concluir que E (A)> E (B)?

Answer 1

[matemática] [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] son ​​normales, solo hay tres posibilidades: [matemática] E (A)> E (B) [/ matemática], [matemática] E (A ) = E (B) [/ matemáticas] o [matemáticas] E (A) <E (B) [/ matemáticas].

Veamos [matemáticas] E (A) = E (B [/ matemáticas]), podemos dividir [matemáticas] A [/ matemáticas] en dos regiones [matemáticas] A _ + [/ matemáticas] y [matemáticas] A _- [ / matemática], con [matemática] A_ +> E (A [/ matemática]) y [matemática] A_- E (A) [/ matemáticas] y [matemáticas] B_- B _- [/ matemáticas] y [matemáticas] A_- B ) = P (A <B) [/ matemáticas].

Ahora con [matemática] E (A)> E (B) [/ matemática], los cuatro subproblemas tienen un sesgo hacia [matemática] P (A> B) [/ matemática] así que tenemos [matemática] P (A> B) > P (A <B) [/ matemáticas].

De manera similar con [matemáticas] E (A) B) <P (A B)> P (A E (B) [/ matemáticas].

Answer 2

Sí, suponiendo que [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas] son ​​independientes. Como [math] A [/ math] y [math] B [/ math] se distribuyen normalmente, [math] \ mathbb {P} (A = B) = 0 [/ math], entonces [math] \ mathbb {P } (A> B) + \ mathbb {P} (A B)> \ mathbb {P} (A B) > 1/2 [/ matemáticas]. Si [matemática] A> B [/ matemática], entonces [matemática] A – B> 0. [/ matemática] Sabemos que [matemática] A – B [/ matemática] se distribuye normalmente con la media [matemática] \ mu_A – \ mu_B [/ math] y varianza [math] \ sigma_A ^ 2 + \ sigma_B ^ 2 [/ math]. La distribución normal es simétrica respecto a su media, por lo que [math] \ mathbb {P} (A – B> 0)> 1/2 [/ math] implica que [math] \ mu_A – \ mu_B> 0 [/ math]. Por lo tanto, podemos concluir que [math] \ mu_A> \ mu_B [/ math].

Answer 3

Sí, para una distribución normal, el valor esperado es la media. La distribución normal es simétrica respecto a la media, por lo que si P (A> B)> 0.5, entonces la media de A debe ser mayor que la media de B.