Cómo factorizar (x ^ 3 + 8)

Answer 1

Los polinomios no tienen una forma “fácil” garantizada de factorizarlos. Por lo tanto, debe comenzar con la inspección, lo que significa que busca cualquier cosa que pueda ser una pista sobre cómo proceder. Aquí es donde se prueba tu habilidad matemática.

Tenga en cuenta que [matemáticas] 2 ^ 3 = 8 [/ matemáticas]. Esta es la pista. Si elige [matemáticas] x = -2 [/ matemáticas], la ecuación es igual a 0. Por lo tanto, -2 es una raíz de la ecuación.

Ahora se prueba tu conocimiento matemático. El teorema fundamental del álgebra te dice que hay una relación simple entre los factores de un polinomio y sus raíces. En particular, si [math] a [/ math] es la raíz de una ecuación, entonces [math] (x – a) [/ math] es un factor. Entonces podemos eliminar un factor de inmediato.

[matemática] a = -2 [/ matemática] por lo que el factor es [matemática] (x + 2) [/ matemática]. Podemos escribir la ecuación completa con el polinomio restante, o el resto: [matemáticas] (x + 2) R (x) = x ^ 3 + 8 [/ matemáticas]. Ahora podemos usar la división larga polinómica para encontrar [matemáticas] R (x) [/ matemáticas]. En la división larga polinómica, combinas las potencias de x comenzando con la mayor potencia y siguiendo el resto como si estuvieras haciendo una división larga en un número.

[matemáticas] \ frac {x ^ 3 + 8} {x + 2} [/ matemáticas]

Aparentemente, el comando de látex para la división larga no está incluido en quora, por lo que no puedo reproducir la división larga. Pero los pasos son así:

1. Cociente [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas]. Reste [math] (x ^ 3 + 2x ^ 2) [/ math] del dividendo. El nuevo dividendo es [matemático] -2x ^ 2 + 8 [/ matemático].

2. Cociente [matemática] -2x [/ matemática]. Reste [math] (- 2x ^ 2 -4x) [/ math] del dividendo. El nuevo dividendo es [matemático] 4x + 8 [/ matemático].

3. Cociente [matemática] 4 [/ matemática]. Reste [matemáticas] (4x + 8) [/ matemáticas] del dividendo. El resto es 0. (el resto debe ser cero ya que sabemos que [math] (x + 2) [/ math] es un factor.

El cociente ahora muestra: [matemáticas] x ^ 2 – 2x + 4 [/ matemáticas], que es el otro factor R (x) que nos permite escribir:

[matemáticas] x ^ 3 +8 = (x + 2) (x ^ 2 – 2x + 4) [/ matemáticas]

Pero, ¿cómo sabemos que [matemática] x ^ 2 – 2x + 4 [/ matemática] no se puede factorizar? Bueno, por inspección vemos que esta es una función creciente (nunca disminuye), por lo que solo puede cruzar cero una vez y, por lo tanto, no tiene otros factores reales. Si quisiéramos encontrar los factores complejos, simplemente podríamos completar el cuadrado:

[matemáticas] 0 = x ^ 2 – 2x + 4 = x ^ 2 – 2x + 1 + 3 = (x – 1) ^ 2 + 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] -3 = (x – 1) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 1 \ pm i \ sqrt {3} [/ matemáticas]

para que podamos escribir [matemáticas] x ^ 3 +8 = (x + 2) (x- 1 – i \ sqrt {3}) (x- 1 + i \ sqrt {3}) [/ matemáticas]

Answer 2

Como puede ver, esta ecuación tiene solo una raíz real que es – 2 Para encontrar otras raíces

x ^ 3 = -8

(-x / 2) ^ 3 = 1

Deje y = -x / 2

y ^ 3 = e ^ (2.pi.k +0); por el teorema de Euler

y = e ^ (2.pi.k / 3); en la raíz cúbica

Poniendo k = 0,1,2 y usando el teorema de Euler e ^ ( [correo electrónico protegido] ) = cos (@) + sin (@); donde i es iota y @ es ángulo, obtenemos

-x / 2 = 1, w, w ^ 2

x = -2, -2w, -2w ^ 2

w es (-1 + √3) / 2 y w ^ 2 es conjugado de w

Entonces obtenemos las tres raíces

(x + 2) (x + 2w) (x + 2w ^ 2) = 0

Answer 3

① (a + b) ³≡a³ + b³ + 3ab (a + b)

→ a³ + b³ = (a + b) ³-3ab (a + b)

= (a + b {((a + b) ² — 3ab))

= (a + b) (a² + b² — ab)

② Enchufar a = x, b = 2

→ x³ + 8

= x³ + 2³

= (x + 2) (x² + 2² — 2x)

= (x + 2) (x² — 2x + 4) ↙

③ CEROES de (x² — 2x + 4):

x = ½ (2 ± √-12) = ½ (2 ± i2√3) = 1 ± i√3

③ ∴x³ + 8 ≡ (x + 2) (x — 1 — i√3) (x — 1 + i√3)

Answer 4

Identidad utilizada a ^ 3-b ^ 3 = (ab) (a ^ 2 + ab + b ^ 2).

x ^ 3-8 se puede escribir como x ^ 3-2 ^ 3

x ^ 3-2 ^ 3 = (x-2) (x ^ 2 + 2x + 2 ^ 2) = (x-2) (x ^ 2 + 2x + 4)

Answer 5

Una diferencia de cubos (a ^ 3-b ^ 3) puede factorizarse como (ab) (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2). Como X ^ 3–8 es una diferencia de dos cubos, se puede factorizar como:

(X-2) (X ^ 2 + 2 (2) X + 2 ^ 2)

= (X-2) (X ^ 2 + 4X + 4)

Puede ver cómo se multiplica para comprender la regla general.

Answer 6

En cuanto a la factorización tenemos: [matemática] a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 – ab + b ^ 2) [/ matemática]

Observe que 8 es igual a [matemáticas] 2 ^ 3. [/ Matemáticas]

Entonces se convierte en [matemáticas] (x ^ 3 + 2 ^ 3) [/ matemáticas] y puede usar la fórmula anterior.

Answer 7

Recordar: suma y diferencia de dos cubos

[matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 = (x + y) (x ^ 2 – xy + y ^ 2) [/ matemáticas] y [matemáticas] x ^ 3 – y ^ 3 = (x – y) (x ^ 2 + xy + y ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 + 8 [/ matemáticas] se puede escribir como [matemáticas] x ^ 3 + 2 ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 + 8 = x ^ 3 + 2 ^ 3 = (x + 2) (x ^ 2 – 2x + 4) [/ matemáticas]

Answer 8

En primer lugar, tome los factores de x ^ 3 (como x y x ^ 2, x ^ 3 y 1 realmente no lo ayudarán en esto) y los factores de 8 (2, 4, nuevamente 1 y 8 no lo ayudarán )

Luego separa los factores de esta forma …

x ^ 3–8 = (x-2) (x ^ 2 + bx + 4)

Aquí puede ver que cuando multiplica el primer término en cada paréntesis, obtendrá x ^ 3

Cuando multiplique los dos últimos términos en cada paréntesis obtendrá -8.

Pero ahora tiene que lidiar con un nuevo problema que es, ahora tiene dos términos adicionales en x ^ 2 yx.

Para lidiar con eso, necesitamos encontrar el coeficiente correcto del término en x en el segundo paréntesis -> (x ^ 2 + bx + 4) <- así que necesitamos encontrar b.

Comparando el coeficiente de x ^ 2 para encontrar b:

-2 + b = 0

b = 2

x ^ 3–8 = (x-2) (x ^ 2 + 2x + 4)

Sin embargo, aún no ha terminado, ahora necesitamos factorizar el soporte largo. Pero hay un pequeño problema, no puedes factorizarlo normalmente.

Soo

x ^ 2 + 2x +4 -3 + 3 (para que la expresión se pueda factorizar con constante adicional.

x ^ 2 + 2x + 1 +3 = (x + 1) ^ 2 + 3

por lo tanto, x ^ 3–8 = (x-2) [(x + 1) ^ 2 + 3]

hmmm o puedes dejarlo como

x ^ 3–8 = (x-2) (x ^ 2 + 2x + 4)

Lo siento mucho si mi respuesta es bastante larga y complicada, esta es la primera vez que respondo algo en quora jejeje ¿Espero que esto ayude?

Answer 9

Hay diferentes formas de factorizar.

Answer 10

La factorización de [matemáticas] (a ^ 3 + b ^ 3) [/ matemáticas] es [matemáticas] (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) [/ matemáticas]

Entonces, deje que [math] a = x [/ math] y [math] b = \ sqrt [3] 8 = 2 [/ math]

Entonces, obtenemos [matemáticas] x ^ 3 + 2 ^ 3 = (x + 2) (x ^ 2-2x + 4) [/ matemáticas]

Entonces, si este es un polinomio cúbico, las soluciones son [matemáticas] -2,1 \ pm \ sqrt3i [/ matemáticas]

Answer 11

=> (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2

=> a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) ^ 3–3a ^ 2b-3ab ^ 2

=> a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) ((a + b) ^ 2–3ab)

Reemplace a con x y b con 2

=> x ^ 3 + 2 ^ 3 = (x + 2) ((x + 2) ^ 2–3 * x * 2)

=> x ^ 3 + 2 ^ 3 = (x + 2) (x ^ 2 + 2 * x * 2 + 2 ^ 2–6x)

=> x ^ 3 + 2 ^ 3 = (x + 2) (x ^ 2 + 4x + 4–6x)

=> x ^ 3 + 2 ^ 3 = (x + 2) (x ^ 2–2x + 4)

Answer 12

Tenemos que factorizar x ^ 3 + 8.

Podemos reescribir esto como

x ^ 3 + 2 ^ 3 {2 ^ 3 = 8}

Como sabemos que: –

a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 + b ^ 2-ab)

Por lo tanto;

x ^ 3 + 2 ^ 3 = (x + 2) (x ^ 2 + 2 ^ 2–2x)

=> x ^ 3 + 2 ^ 3 = (x + 2) (x ^ 2 – 2x + 2 ^ 2)

=> x ^ 3 + 2 ^ 3 = (x + 2) (x ^ 2 – 2x + 4)

Por lo tanto, x ^ 3 + 8 puede factorizarse como (x + 2) (x ^ 2 – 2x + 4).

Answer 13

Usa la fórmula de diferencia de cubos.

(a ^ 3-b ^ 3) = (ab) (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2)

Answer 14

x ^ 3–8 = x ^ 3–2 ^ 3 = (x-2) (x ^ 2 + 2x + 4)

Answer 15

Como es una diferencia de cubos, puede factorizar el término (x-2) y eso le deja con el factor (x ^ 2 + 2x + 4), que no puede factorizar.