Si el par de la ecuación lineal 5x + (k-4) y-20 = 0 y 3x + (k + 7) y-12 = 0 tiene muchas soluciones, ¿cuál es el valor de ‘k’?

Ecuaciones dadas:

[matemática] 5x + (k-4) y-20 = 0 ≡ a_1x + b_1y + c_1 = 0 [/ matemática]

[matemática] 3x + (k + 7) y-12 = 0 ≡ a_2x + b_2y + c_2 = 0 [/ matemática]

Comparando los equivalentes,

[matemáticas] a_1 = 5, b_1 = k-4, c_1 = -20 [/ matemáticas]

[matemáticas] a_2 = 3, b_2 = k + 7, c_2 = -12 [/ matemáticas]

Ahora, un sistema de 2 ecuaciones simultáneas tiene infinitas soluciones si

[math] Δ, Δ_x [/ math] y [math] Δ_y [/ math] todos son simultáneamente 0.

En la simplificación,

[matemáticas] \ frac {a_1} {a_2} = \ frac {b_1} {b_2} = \ frac {c_1} {c_2} [/ matemáticas]

Si ve con cuidado, de la ecuación anterior,

[math] \ frac {a_1} {a_2} = \ frac {c_1} {c_2} = \ frac {5} {3} [/ math] para que no nos preocupemos por nada más, solo encontramos ‘k’.

[matemáticas] \ frac {5} {3} = \ frac {k-4} {k + 7} [/ matemáticas]

[matemáticas] 5k + 35 = 3k-12 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2k = -47 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ k = -23.5 [/ matemáticas]