Por supuesto, la definición habitual de [math] n! [/ Math] como el producto de todos los enteros desde [math] 1 [/ math] a [math] n [/ math] incluido solo tiene sentido cuando [math] n [ / math] es un entero positivo.
Resulta, sin embargo, que
[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty \ frac {x ^ n} {e ^ x} dx = n!. [/ matemáticas]
Este es un ejercicio fácil de cálculo: aplique la integración por partes para ver que es igual a
[matemáticas] \ displaystyle n \ int_0 ^ \ infty \ frac {x ^ {n-1}} {e ^ x} dx [/ matemáticas]
- ¿Cómo demostrar que [matemáticas] \ frac {n! } {n ^ n} \ leq (\ frac {1} {2}) ^ k [/ math] donde [math] k \ [/ math] es el mayor entero [math] \ leq \ frac {n} {2 } [/matemáticas]
- Cómo explicar rigurosamente la prueba de que siempre hay una solución para un polinomio impar
- Cómo factorizar (x ^ 3 + 8)
- ¿2 + 2 = 4 porque lo hace o porque algún tipo lo dijo?
- ¿Cuál es el valor máximo de f (x)? F (x) = senx + cosx donde 0 <x <180
y por lo tanto, repitiendo este paso, es igual a
[matemáticas] \ displaystyle n (n-1) \ cdots (2) (1) \ int_0 ^ \ infty \ frac1 {e ^ x} dx, [/ math]
es decir
[matemáticas] \ displaystyle n! \ int_0 ^ \ infty \ frac1 {e ^ x} dx = n!. [/ matemáticas]
Ahora esta integral también es significativa para valores no enteros de [math] n [/ math]; Por lo tanto, proporciona una extensión natural de la función factorial a argumentos no enteros.
Por razones históricas, generalmente hablamos de la función Gamma [matemáticas] \ Gamma (z) [/ matemáticas], definida como
[matemáticas] \ displaystyle \ Gamma (z) = \ int_0 ^ \ infty \ frac {x ^ {z-1}} {e ^ x} dx, [/ math]
que tiene la propiedad de que [matemáticas] \ Gamma (z + 1) = z \ Gamma (z) [/ matemáticas] y que [matemáticas] \ Gamma (1) = 1 [/ matemáticas], de modo que [matemáticas] \ Gamma (n) = (n-1)! [/ math] si [math] n [/ math] es un entero positivo. Por lo tanto, generalmente podemos definir [matemáticas] z! [/ Matemáticas] como [matemáticas] \ Gamma (z + 1) [/ matemáticas].
Es útil saber que la función Gamma se vuelve infinita en enteros negativos y que [math] \ Gamma \ left (\ frac12 \ right) = \ frac {\ sqrt {\ pi}} 2. [/ Math]
Para obtener más información, consulte Función gamma – Wikipedia