¿Qué es [math] x! [/ Math] cuando [math] x [/ math] no es un entero?

Por supuesto, la definición habitual de [math] n! [/ Math] como el producto de todos los enteros desde [math] 1 [/ math] a [math] n [/ math] incluido solo tiene sentido cuando [math] n [ / math] es un entero positivo.
Resulta, sin embargo, que

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty \ frac {x ^ n} {e ^ x} dx = n!. [/ matemáticas]

Este es un ejercicio fácil de cálculo: aplique la integración por partes para ver que es igual a

[matemáticas] \ displaystyle n \ int_0 ^ \ infty \ frac {x ^ {n-1}} {e ^ x} dx [/ matemáticas]

y por lo tanto, repitiendo este paso, es igual a

[matemáticas] \ displaystyle n (n-1) \ cdots (2) (1) \ int_0 ^ \ infty \ frac1 {e ^ x} dx, [/ math]

es decir

[matemáticas] \ displaystyle n! \ int_0 ^ \ infty \ frac1 {e ^ x} dx = n!. [/ matemáticas]

Ahora esta integral también es significativa para valores no enteros de [math] n [/ math]; Por lo tanto, proporciona una extensión natural de la función factorial a argumentos no enteros.
Por razones históricas, generalmente hablamos de la función Gamma [matemáticas] \ Gamma (z) [/ matemáticas], definida como

[matemáticas] \ displaystyle \ Gamma (z) = \ int_0 ^ \ infty \ frac {x ^ {z-1}} {e ^ x} dx, [/ math]

que tiene la propiedad de que [matemáticas] \ Gamma (z + 1) = z \ Gamma (z) [/ matemáticas] y que [matemáticas] \ Gamma (1) = 1 [/ matemáticas], de modo que [matemáticas] \ Gamma (n) = (n-1)! [/ math] si [math] n [/ math] es un entero positivo. Por lo tanto, generalmente podemos definir [matemáticas] z! [/ Matemáticas] como [matemáticas] \ Gamma (z + 1) [/ matemáticas].

Es útil saber que la función Gamma se vuelve infinita en enteros negativos y que [math] \ Gamma \ left (\ frac12 \ right) = \ frac {\ sqrt {\ pi}} 2. [/ Math]

Para obtener más información, consulte Función gamma – Wikipedia

Indefinido

AKA, sin embargo, le gustaría definirlo, pero para la extensión típica del factorial, en su lugar, vea la función Gamma.

¡X! no está definido para enteros negativos o no enteros.

Para enteros positivos, su valor es el producto de xy todos los enteros anteriores hasta 1.