Probemos esto por inducción. El paso inicial es demostrarlo para n = 2;
[matemáticas] \ frac {2!} {2 ^ 2} \ leq \ frac {1} {2} ^ 1 [/ matemáticas] {max k = 1 en este caso}
[matemáticas] \ frac {1} {4} \ leq \ frac {1} {2} [/ matemáticas] Por lo tanto, es cierto para n = 2
ahora suponga que es verdadero para n = n, intentemos para n + 1, es decir, (hipótesis inductiva)
- Cómo explicar rigurosamente la prueba de que siempre hay una solución para un polinomio impar
- Cómo factorizar (x ^ 3 + 8)
- ¿2 + 2 = 4 porque lo hace o porque algún tipo lo dijo?
- ¿Cuál es el valor máximo de f (x)? F (x) = senx + cosx donde 0 <x <180
- ¿Cuál es el dominio y el rango de 1/1-x ^ 2?
[matemáticas] \ frac {n!} {n ^ n} \ leq (\ frac {1} {2}) ^ {\ frac {n} {2}} [/ matemáticas] es verdadero
[matemática] \ implica \ frac {\ log {n!} – n \ log {n}} {n} \ leq – \ frac {1} {2} \ log {2} [/ matemática] … es cierto , llama a esto (1)
[matemáticas] \ frac {(n + 1)!} {(n + 1) ^ {(n + 1)}} \ leq (\ frac {1} {2}) ^ {\ frac {(n + 1) } {2}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica \ frac {\ log {(n + 1)!} – (n + 1) \ log {(n + 1)}} {(n + 1)} \ leq – \ frac {1} { 2} \ log {2} [/ matemática] [matemática] [/ matemática]…. llamar a esto (2)
simplifiquemos un poco el LHS de (2) para que se vea como el LHS de (1), por lo que el LHS de 2 es:
[matemáticas] \ frac {\ log {n!} + \ log {(n + 1)} – n \ log {(n + 1)} – \ log {(n + 1)}} {(n + 1) } [/ math] cancela los términos [math] log (n + 1) [/ math] en el numerador que obtenemos:
[matemáticas] \ implica \ frac {\ log {n!} – n \ log {(n + 1)}} {(n + 1)} [/ matemáticas] llámalo (3)
Comparando esto con LHS de (1) vemos que el término del numerador se ha reducido como [math] \ log (n + 1)> \ log (n) [/ math] (estamos restando este término) y el denominador es aumentar por un valor mucho mayor, haciendo que el valor total en (3) sea menor que el LHS de (1), mientras que el RHS de ambos (1) y (2) son iguales
[matemáticas] \ frac {\ log {n!} – n \ log {(n + 1)}} {(n + 1)} \ le \ frac {\ log {n!} – n \ log {n}} {n} \ leq – \ frac {1} {2} \ log {2} [/ math]
por lo tanto, por hipótesis inductiva n = n + 1 es verdadera y la desigualdad original debe ser verdadera por inducción, para [math] \ forall n \ geq 2 [/ math] y [math] n \ in \ mathbb {N} [/ math ]
Nota: Los resultados también son verdaderos para n = 1, que es el único caso en que se obtiene una igualdad. Pero este caso trivial se elimina conscientemente para mostrar cómo funciona la inducción.
Esta es una prueba original y no está tomada de ningún texto. Si encuentra algún problema, hágamelo saber a través de los comentarios.