Cómo encontrar el valor exacto de la suma de n = 2 al infinito 1 / (n + 3) ^ 2 sabiendo que la suma de n = 1 al infinito 1 / n ^ 2 es pi ^ 2/6

Answer 1

Te dan que:

[matemáticas] \ displaystyle S = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {n ^ 2} = \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} \ tag {1} [/ math]

y se les pide que encuentren la magnitud de:

[matemáticas] \ displaystyle s = \ sum_ {n = 2} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {(n + 3) ^ 2} \ tag {2} [/ matemáticas]

Al igual que en la integración, puede introducir la siguiente sustitución en ( 2 ):

[matemáticas] n + 3 = t \ tag {3} [/ matemáticas]

Luego, dado que ( 2 ) comienza su variable de suma [matemática] n [/ matemática] con [matemática] 2 [/ matemática], póngala en ( 3 ) [matemática]: [/ matemática]

[matemáticas] 2 + 3 = 5 = t \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Por lo tanto:

[matemáticas] \ displaystyle s = \ sum_ {t = 5} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {t ^ 2} \ tag {2} [/ matemáticas]

Ahora la forma de ( 2 ) coincide con la de ( 1 ) exactamente excluyendo el valor inicial de la variable de suma:

[matemáticas] \ displaystyle S = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {n ^ 2} = \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {4} \ dfrac {1} {n ^ 2} + \ sum_ {n = 5} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {n ^ 2} = \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {4} \ dfrac {1} {n ^ 2} + s \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

De donde:

[matemáticas] \ displaystyle s = S – \ sum_ {n = 1} ^ {4} \ dfrac {1} {n ^ 2} = \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} – \ sum_ {n = 1} ^ {4} \ dfrac {1} {n ^ 2} \ tag * {} [/ math]

Answer 2

La parte clave es notar las similitudes entre pi ^ 2/6 = 1 / (2 ^ 2) + 1 / (3 ^ 2) + 1 / (4 ^ 2) + 1 / (5 ^ 2) + 1 / (6 ^ 2) +…

El problema declarado es:

1 / ((2 + 3) ^ 2) + 1 / ((3 + 3) ^ 2) + 1 / ((4 + 3) ^ 2) + 1 / ((5 + 3) ^ 2) + 1 / ((6 + 3) ^ 2) +…

cual es

1 / (5 ^ 2) + 1 / (6 ^ 2) +…

Es lo mismo que el lado derecho de la suma máxima, pero faltan los primeros 3 términos.

Por lo tanto, la respuesta es pi ^ 2/6 – (1 / (2 ^ 2) + 1 / (3 ^ 2) – 1 / (4 ^ 2))

cual es

pi ^ 2/6 – (1/4 + 1/9 + 1/16).

Lo dejaré en ese punto.