¿Cómo resolver este problema de optimización de cálculo? Encuentre el punto (x, y) en la gráfica de la función y = sqrt (x) más cercana al punto (4,0)

Answer 1

Primero, quieres comprobar si ese punto está en el gráfico. Si es así, tienes tu punto.

[matemáticas] 0 = \ sqrt4 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 = 2 [/ matemáticas]

Maldito. Pensé que eso funcionaría. Ok, entonces la solución obvia no lo es. Vamos un poco más profundo. Digamos que para cualquier punto [matemática] p [/ matemática], la distancia a [matemática] (4, 0) [/ matemática] es [matemática] s [/ matemática]. Podemos escribir una ecuación para describir [math] s [/ math] en términos de [math] p [/ math] usando la fórmula de distancia euclidiana:

[matemáticas] s = \ sqrt {(p_x – 4) ^ 2 + (p_y – 0) ^ 2} [/ matemáticas]

Ahora tenemos una ecuación. Estamos consiguiendo lugares. Ahora nuestro objetivo es encontrar el punto más cercano a [math] (4,0) [/ math], y para hacer eso, solo tenemos que minimizar [math] s [/ math]. Sin embargo, aún no podemos hacerlo, eso solo nos llevará de vuelta a la solución obvia que probamos al principio, y eso no funcionó. Primero, necesitamos restringir [math] p [/ math] para estar en la curva [math] y = \ sqrt {x} [/ math]. Entonces hagamos eso.

[matemáticas] p_y = \ sqrt {p_x} [/ matemáticas]

Ahora hagamos esta sustitución en nuestra función de distancia.

[matemáticas] s = \ sqrt {(p_x – 4) ^ 2 + [\ sqrt {p_x}] ^ 2} [/ matemáticas]

Frijoles fríos. Ahora tenemos una ecuación que relaciona solo dos variables, incluye todas las restricciones relevantes y expresa el valor que queremos optimizar en función de la variable independiente. Ahora vamos a simplificar esto un poco para facilitarnos las cosas.

[matemáticas] s = \ sqrt {(p_x – 4) ^ 2 + p_x} [/ matemáticas]

[matemáticas] s = \ sqrt {p_x ^ 2 -8p_x + 16 + p_x} [/ matemáticas]

[matemáticas] s = \ sqrt {p_x ^ 2 -7p_x + 16} [/ matemáticas]

Recuerde, nuestro objetivo aquí es minimizar [math] s [/ math]. Para hacer eso, tenemos que encontrar los puntos críticos de nuestra función: estos son los lugares donde la derivada es igual a 0. Cada mínimo y máximo local debe ocurrir en un punto crítico, de lo contrario, podría empujar su punto un poco de una manera u otra para hacerlo subir o bajar.

Para encontrar la derivada, necesitará usar la linealidad, la regla de la cadena y la regla de potencia. Te ahorraré los detalles.

[matemáticas] \ frac {ds} {dp_x} = \ frac {2p_x – 7} {2 \ sqrt {p_x ^ 2 -7p_x + 16}} [/ matemáticas]

Esto puede parecer un poco complicado, pero recuerde, lo estamos configurando en 0,

[matemáticas] \ frac {2p_x – 7} {2 \ sqrt {p_x ^ 2 -7p_x + 16}} = 0 [/ matemáticas]

entonces podemos multiplicar por todo en el denominador.

[matemáticas] 2p_x – 7 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] p_x = \ frac72 [/ matemáticas]

Ahora, para encontrar nuestra coordenada y, recuerde que restringimos [math] p [/ math] para recostarse en la curva [math] y = \ sqrt {x} [/ math] así que [math] p_y = \ sqrt {p_x} [ /matemáticas].

[matemática] p = \ izquierda (\ frac72, \ sqrt \ frac72 \ derecha) \ aprox (3.5, 1.87) [/ matemática]

Voíla

Answer 2

Esto suena como un problema de tarea, así que explicaré cómo resolverlo en lugar de publicar una solución.

Sea [matemáticas] d (x, y) = || (x, y) – (4,0) || [/ math] sea la distancia euclidiana al punto (4,0). Entonces deje [math] f (x) = d (x, \ sqrt x). [/ Math]

Plug and chug y luego configure [math] f ‘(x) = 0. [/ Math]

Answer 3

La respuesta es igual al valor más cercano al punto (4,0).

La distancia entre dos puntos en coordenadas cartesianas proviene de la aplicación del teorema de Pitágoras.
La distancia entre el punto en la curva de sqrt (x) y el punto (4,0) es igual a la hipotenusa en un triángulo de ángulo recto, por lo tanto

Distancia = sqrt ((4-x) ^ 2 + (sqrt (x)) ^ 2) = sqrt ((4-x) ^ 2 + x) = sqrt ((4-x) ^ 2 + x)

Para encontrar el punto x en esa función que representa el mínimo, diferenciamos y establecemos que sea igual a 0

Distancia diferenciada = (2x-7) / (2 (sqrt (x + (x-4) ^ 2)))

Esto es igual a 0 cuando x = 3.5

Por lo tanto, el punto que busca es (3.5, sqrt (3.5))

Answer 4

Este es un problema de optimización de cálculo, pero me gustaría resolverlo de una manera diferente.

La distancia es mínima cuando la línea que une [matemática] (4,0) [/ matemática] al punto en el gráfico es \ perp a la tangente a la curva en ese punto.

Ahora [matemáticas] y = \ sqrt x [/ matemáticas]

[matemáticas] y ^ 2 = x [/ matemáticas]

La ecuación de la tangente en [math] (x ‘, y’) [/ math] es

[matemáticas] aa ‘= \ dfrac {x + x’} 2 [/ matemáticas]

La pendiente de la tangente es [matemática] \ dfrac 1 {2 y ‘} [/ matemática]

La pendiente de la línea que une [matemática] (4,0) [/ matemática] al punto es [matemática] = \ dfrac {y’-0} {x’-4} = \ dfrac {-2 y ‘} 1 [ /matemáticas]

[matemáticas] x ‘= 4- \ dfrac 1 2 = \ dfrac 72 [/ matemáticas]

[matemáticas] y ‘= \ sqrt {\ dfrac 72} [/ matemáticas]

Entonces, el punto más cercano es [matemáticas] \ izquierda (\ dfrac 72, \ sqrt {\ dfrac 72} \ derecha) [/ matemáticas]