Cómo demostrar que [matemáticas] \ displaystyle \ prod_ {k = a} ^ b (xk) = \ frac {(- 1) ^ {b-a + 1} \ Gamma (b-c + 1)} {\ Gamma (ac)} [/ matemáticas]

Answer 1

Gracias Neil por el A2A.

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Aquí hay una breve prueba directa de por qué los dos lados son iguales. Primero, vas a tener que saber tres cosas

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} & (x) _n = x (x-1) \ cdots (x-n + 1) = \ prod \ limits_ {k = 1} ^ n (x-k + 1 ) \\ & (x) ^ {(n)} = x (x + 1) \ cdots (x + n-1) = \ prod \ limits_ {k = 1} ^ n (x + k-1) \ end {alinear *} \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

y

[matemáticas] \ displaystyle (a) _k = \ frac {\ Gamma (a + k)} {\ Gamma (a)} \ tag * {} [/ math]

El primer requisito previo es solo la definición del símbolo de pochhammer o símbolo factorial. La primera ecuación se llama factorial descendente (porque cada término está disminuyendo en uno) y la segunda se llama factorial ascendente (porque estamos agregando uno a cada término). Existe una fuerte conexión entre los símbolos de pochhammer y la función gamma ilustrada en la segunda ecuación.

Para probar la segunda relación, expanda el lado izquierdo usando la definición del factorial descendente y vuelva a escribirlo en términos de la función gamma.

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Para abordar su problema, comenzamos reescribiendo el lado izquierdo en forma expandida

[matemáticas] \ displaystyle \ prod \ limits_ {k = a} ^ b (ck) = (ca) (ca-1) (ca-2) \ cdots (cb) \ tag * {} [/ math]

Y dado que hay un total de términos [matemáticos] b-a + 1 [/ matemáticos], podemos factorizar uno negativo, de modo que

[matemáticas] \ displaystyle \ prod \ limits_ {k = a} ^ b (ck) = (- 1) ^ {b-a + 1} (ac) (a-c + 1) \ cdots (bc) \ tag * {}[/matemáticas]

Comparando eso con nuestra definición del factorial ascendente, vemos que [matemáticas] x = ac, n = b-a + 1 [/ matemáticas]. Por lo tanto

[matemáticas] \ displaystyle \ prod \ limits_ {k = a} ^ b (ck) = (- 1) ^ {b-a + 1} (ac) _ {b-a + 1} = \ frac {(-1 ) ^ {b-a + 1} \ Gamma (b-c + 1)} {\ Gamma (ac)} \ tag * {} [/ math]

Answer 2

Vuelva a escribir el lado izquierdo en términos de (ck), lo que le dará el signo apropiado.

De lo contrario, la intuición se puede tomar de los enteros en términos de factoriales, en donde la relación de funciones gamma se puede llevar fácilmente a una forma explícita. La idea clave es que n! / (Nk)! = N (n-1) … (n-k + 1).