¿Qué se necesita para probar axiomas en álgebra abstracta?

Answer 1

No pruebas axiomas. Son declaraciones que se supone que son ciertas con las que puede probar otras declaraciones.

Debe suponer que esto es cierto, ya que debe comenzar en alguna parte. Por ejemplo, suponga que tiene un número infinito de bolsas de dulces y desea seleccionar un caramelo de cada bolsa. ¿Puedes hacer eso? Debe suponer que esto es posible antes de poder usarlo como un paso para probar algo que desea probar sobre las infinitas bolsas de dulces. Este es el axioma de elección. Es la suposición de que tal selección de un dulce de cada bolsa es posible.

El axioma de elección generalmente no se establece de esta manera, pero es equivalente a esto. También es probablemente el axioma más controvertido, ya que puede conducir a cosas extrañas, como la paradoja de Banach-Tarski. Es una lección que uno debe tener cuidado al hacer suposiciones. Tenemos que hacer algunas suposiciones para hacer las cosas, pero siempre puede haber consecuencias.

Answer 2

Técnicamente no puedes “probar” los axiomas, pero si existe incluso un conjunto no vacío, una suposición bastante razonable, entonces puedes probar la existencia de al menos un grupo usando los axiomas de la teoría de conjuntos.

Supongamos, por ejemplo, que tiene un conjunto no vacío [math] S [/ math]. Deje [math] x_0 \ en S [/ math]. Usando los axiomas de la teoría de conjuntos, podemos probar la existencia de un conjunto [matemático] G = \ {x_0 \} [/ matemático] y la función [matemático] \ circ: G \ veces G \ a G [/ matemático] de tal manera que [matemáticas] x_0 \ circ x_0 = x_0 [/ matemáticas]. Entonces puedes probar que [math] (G, \ circ) [/ math] es un grupo. (Izquierda como ejercicio).