Considere un círculo de radio [matemática] r [/ matemática] y centro [matemática] O [/ matemática]. Deje que [math] AB [/ math] sea un acorde tal que el área entre el arco menor y el acorde [math] AB [/ math] sea igual a un tercio del área del triángulo.
Deje que el acorde subte un ángulo [matemática] \ theta [/ matemática] radianes en el centro, es decir, la medida de [matemática] \ ángulo AOB = \ theta. [/ Matemática]
El área de un segmento formado por un acorde que subtiende un ángulo [matemática] \ theta [/ matemática] en el centro del círculo con radio [matemática] r [/ matemática] es [matemática] \ frac {r ^ 2 \ theta } {2} – \ frac {r ^ 2 \ sin \ theta} {2}. [/ Math]
[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad \ frac {r ^ 2 \ theta} {2} – \ frac {r ^ 2 \ sin \ theta} {2} = \ frac {\ pi r ^ 2} {3} \ qquad \ Rightarrow \ qquad 3 \ theta – 3 \ sin \ theta = 2 \ pi. [/ Math]
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No es posible resolver esta ecuación analíticamente. Entonces lo resolveremos numéricamente usando el método Newton Raphson.
Deje que [matemáticas] f (\ theta) = 3 \ theta – 3 \ sin \ theta – 2 \ pi. [/ math] Queremos que el valor de [math] f (\ theta) [/ math] sea [math] 0 [/ math].
Entonces, [matemáticas] f ‘(\ theta) = 3 – 3 \ cos \ theta. [/ Matemáticas]
Deje que la primera estimación de [math] \ theta [/ math] sea [math] \ theta _1. [/ Math]
Entonces, la segunda y mejor estimación sería [math] \ theta _2 = \ theta _1 – \ frac {f (\ theta _1)} {f ‘(\ theta _1)}. [/ Math]
La tercera y mejor estimación sería [math] \ theta _3 = \ theta _2 – \ frac {f (\ theta _2)} {f ‘(\ theta _2)}. [/ Math]
Continuamos de esta manera hasta que la diferencia entre dos estimaciones sucesivas sea menor que el error tolerable.
Para este caso particular, tomando la primera estimación [matemática] \ theta _1 = 0.8 \ pi, [/ matemática] los detalles de las iteraciones son los siguientes:
Entonces, obtenemos la solución como [math] \ theta = 2.60532567 [/ math] radianes [math] = 149.274165 ^ o. [/ Math]
La distancia de este acorde desde el centro es [matemática] r \ cos \ frac {\ theta} {2} = r \ cos \ frac {2.60532567} {2} = 0.26493208 r. [/ Matemática]