¿Qué es un espacio proyectivo?

Answer 1

Considere el plano cartesiano. Específicamente, piense en el conjunto de funciones lineales a través del origen:

Cada una de estas líneas está determinada únicamente por un número real que corresponde a la pendiente de la línea, excepto las líneas verticales que tienen “pendiente infinita”. Si aumentamos la pendiente hacia “infinito” obtenemos una línea vertical y si aumentamos la pendiente hacia “infinito negativo” obtendremos la misma línea.

Intuitivamente (aún no hemos dado definiciones rigurosas) el espacio proyectivo unidimensional será el espacio que consiste en todas estas líneas. De hecho, resulta que el espacio de estas líneas es el círculo:

Esto corresponde a cómo una línea con pendiente “infinito” es igual a la línea con pendiente “infinito negativo”. Ahora puedo dar una definición rigurosa:

Definición: Defina [math] \ mathbb {P} ^ n [/ math] para que sea el conjunto de [math] 1 [/ math] -espacios lineales dimensionales en [math] \ mathbb {R} ^ {n + 1} [ /matemáticas]. Hay un mapa natural [math] q: (\ mathbb {R} ^ {n + 1} – \ {0 \}) \ to \ mathbb {P} ^ n [/ math] que lleva un punto a su extensión. El espacio [math] \ mathbb {P} ^ n [/ math] junto con la topología del cociente inducida por [math] q [/ math] se dice que es el espacio proyectivo real de dimensión [math] n [/ matemáticas].

Aquí hay varios ejemplos:

1. [matemática] 1 [/ matemática] el espacio proyectivo dimensional es topológicamente equivalente a un círculo como hemos visto anteriormente.
2. [matemática] 2 [/ matemática] el espacio proyectivo dimensional se llama plano proyectivo real. Es un poco más difícil de visualizar porque solo se puede incrustar en un espacio de cuatro dimensiones. De manera similar a cómo agregamos un punto en el infinito para que la línea obtenga un círculo, agregamos una línea en el infinito para obtener un plano proyectivo bidimensional. Esta es una representación de esto:

3. El espacio proyectivo dimensional [matemático] 3 [/ matemático] es mucho más difícil de visualizar, pero es difeomorfo (puede transformarse sin problemas) al grupo de mentiras [matemático] SO (3) [/ matemático] que es el espacio de todos Rotaciones tridimensionales alrededor del origen.

Answer 2

Un espacio proyectivo es un espacio que es invariable bajo el grupo.

de todas las transformaciones homogéneas lineales generales en el espacio en cuestión, pero no bajo todas las transformaciones de cualquier grupo que contenga como subgrupo.

Un espacio proyectivo es el espacio de subespacios vectoriales unidimensionales de un espacio vectorial dado. Para espacios vectoriales reales, la notación o denota el espacio proyectivo real de dimensión (es decir, el espacio de espacios vectoriales unidimensionales de) y denota el espacio proyectivo complejo de dimensión compleja (es decir, el espacio de espacios espaciales vectoriales unidimensionales de). También se puede ver como el conjunto que consiste en junto con sus puntos en el infinito

VEA TAMBIÉN: Espacio proyectivo – Wikipedia

Vaelin

Answer 3

Etiquetó esta pregunta con “espacio exterior” y “NASA” y tal, pero “espacio proyectivo” no tiene nada que ver con el espacio exterior.

Es un término utilizado para describir la proyección matemática de una escena 3D en una superficie 2D (como la pantalla de una computadora) que tiene la propiedad de la perspectiva (las cosas en la distancia son más pequeñas que las cercanas).

Ver: espacio proyectivo – Wikipedia

Answer 4

Es el plano real con un punto adicional en el infinito. Todas las líneas se cruzan, no hay líneas paralelas. Puede modelarlo tomando un hemisferio de una esfera y pegando puntos opuestos en el borde, por lo que cruzar el borde le devuelve el espejo invertido en el lado opuesto. Si estás en este espacio, parece estar en la superficie de una esfera, pero cuando cruzas el borde, ves una segunda copia de tu mundo, espejo invertido.