Primero, me pregunto por qué quiere comparar el área de superficie y el volumen, uno tiene unidades [math] \ ell ^ 2 [/ math] y el otro [math] \ ell ^ 3 [/ math]. No tiene sentido y puede ser engañoso compararlos (tienen diferentes dimensiones). Más fundamental sería la relación de área de superficie a volumen, que tiene unidades [math] \ ell ^ {- 1} [/ math] y siempre disminuye a medida que aumenta la longitud.
Pero, con el fin de responder la pregunta, compararemos los valores numéricos del área de superficie y el volumen. El área de superficie y el volumen para un objeto dado son proporcionales a la unidad de longitud al cuadrado, y la unidad de longitud al cubo de la siguiente manera.
[matemática] S = C_S \ ell ^ 2, \ quad V = C_V \ ell ^ 3 [/ matemática]
Donde [math] C_S [/ math] y [math] C_V [/ math] son las constantes de proporcionalidad (depende del objeto). Para comparar las tasas a las que crecen, para ver cuál crece más rápido, tomamos los derivados.
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[matemática] \ frac {\ mathrm {d} S} {\ mathrm {d} \ ell} = 2 C_S \ ell, \ quad \ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} \ ell} = 3 C_V \ ell ^ 2 [/ math].
Entonces podemos resolver los valores de [math] \ ell [/ math] para los cuales el área de superficie crece más rápido.
[matemáticas] 2C_s \ ell> 3 C_V \ ell ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] 1> \ frac {3C_V} {2C_S} \ ell [/ matemáticas]
[matemáticas] \ ell <\ frac {2C_S} {3C_V} [/ matemáticas]
Esto nos dice que para longitudes menores que esta constante, un cambio en la longitud causará un cambio mayor en la superficie que en el volumen. Para longitudes mayores, un cambio en la longitud causará un cambio mayor en el volumen que en el área de superficie.
Podemos ver un ejemplo. Considera la esfera. Tiene área de superficie y volumen dado por
[matemáticas] S = 4 \ pi r ^ 2, \ quad V = \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3 [/ matemáticas]
En otras palabras, las constantes de proporcionalidad son [matemáticas] C_S = 4 \ pi, C_V = 4 \ pi / 3 [/ matemáticas]. Usando la fórmula anterior, obtenemos
[matemáticas] r <\ frac {2 \ veces 4 \ pi} {3 \ veces 4 \ pi / 3} = 2 [/ matemáticas]
Esto significa que, para un radio de menos de 2 unidades, el área de superficie crece más rápido, pero para un radio de más de 2 unidades, el volumen crece más rápido.
Esto puede ser confuso, ¿no depende de las unidades? Sí, pero también nuestras mediciones de superficie y volumen. Esto vuelve al primer punto, puede ser engañoso y sin sentido comparar dos cantidades diferentes con diferentes dimensiones.