¿Por qué el área de una figura geométrica regular siempre está relacionada con el producto de sus longitudes?

Answer 1

Además del enfoque que proporcionó Max Robinson que hace uso de las definiciones formales de área y multiplicación, me gustaría ofrecer un enfoque basado en una técnica llamada análisis dimensional :

El análisis utiliza el hecho de que las cantidades físicas agregadas o igualadas entre sí deben expresarse en términos de las mismas cantidades fundamentales (como masa, longitud o tiempo) para hacer inferencias sobre las relaciones entre ellas. [1]

Si aceptamos que el área se mide en cuadrado [unidades de longitud] o [unidades de longitud] [matemáticas] ^ 2 [/ matemáticas], entonces, mediante análisis dimensional, para encontrar el área, debemos multiplicar al menos dos medidas lineales.

Esto en realidad se aplica a más que solo figuras geométricas regulares; El área de cualquier figura bidimensional, o el área de superficie de cualquier sólido tridimensional, puede relacionarse con el producto de dos mediciones lineales apropiadas, o, en el caso de ciertas figuras simétricas, una sola medición lineal al cuadrado. Nota:

• Rectángulo: [matemáticas] lw [/ matemáticas]
• Cuadrado: [matemáticas] s ^ 2 [/ matemáticas]
• Triángulo: [matemáticas] \ frac {1} {2} bh [/ matemáticas]
• Círculo: [matemáticas] \ pi r ^ 2 [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que cada uno de estos termina conteniendo una longitud por una longitud. (Este concepto también se puede extrapolar al volumen de figuras tridimensionales que se relacionan con un producto de tres mediciones lineales, y por qué si escala las dimensiones lineales de un objeto por un factor de [matemática] n [/ matemática], cualquier medida del área aumenta en un factor de [matemáticas] n ^ 2 [/ matemáticas], y cualquier medida del volumen aumenta en un factor de [matemáticas] n ^ 3 [/ matemáticas].

Notas al pie

[1] análisis dimensional – Búsqueda de Google

Answer 2

Una de las formas en que la multiplicación se define formalmente es mediante los axiomas de Peano, que incluye el Axioma “x * S (y) = x * y + x”. Esto establece que la multiplicación es una suma repetida. El área se define como una integral de ancho sobre una longitud dada; La integración también se define como la suma repetida.