Si el campo en una carga puntual es infinito, ¿por qué no dentro de una esfera sólida cargada? Educación te da un futuro mejor

A2A,

En primer lugar, el campo eléctrico “en la carga puntual” o en [math] r = 0 [/ math] no es [math] \ infty [/ math], tenga esto en cuenta. Déjame explicarte ¿por qué?

Creo que estás en la escuela secundaria así que, [matemáticas] E = \ dfrac {kq} {r ^ 2} \ implica E | _ {r \ to 0} \ to \ infty [/ matemáticas] Sé que es intuitivo pero eso no es el caso. Debido a que el campo eléctrico no es solo una fórmula, cuando estudies la ecuación de Maxwell sabrás que,

[math] \ nabla \ cdot \ mathbf E = \ dfrac {\ rho} {\ epsilon_0} \ tag 1 [/ math]

Esta ecuación dice que, si considero una esfera imaginaria alrededor de una carga, la cantidad de líneas eléctricas que salen de esa esfera por unidad de área. Y eso es proporcional a la cantidad de carga que reside dentro de esa esfera, no tiene nada que ver con la distancia, y con la distancia disminuye la densidad de las líneas de campo eléctrico.

Ahora, llegando a su punto, un cargo puntual es un caso ideal, no existe ningún cargo puntual (dicho esto porque todavía no hemos encontrado ninguno). Pero si hay dónde, entonces el campo eléctrico se convierte,

De la ley de Gauss,

[matemáticas] \ displaystyle \ oint_c \ vec {E} \ cdot d \ vec {s} = \ frac {q} {\ epsilon_0} \ tag 2 [/ matemáticas]

Teorema de divergencia,

[math] \ int _ {\ volume} \ nabla \ cdot \ mathbf E \ text {dV} = \ dfrac {\ int _ {\ text {volume}} \ rho \ text {dV}} {\ epsilon_0} [/ math]

[matemáticas] \ implica \ nabla \ cdot \ mathbf E = \ dfrac {\ rho} {\ epsilon_0} [/ matemáticas]

De la ecuación 2: uso de coordenadas polares esféricas en lugar de cartesianas

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ {\ pi} \ int_0 ^ {2 \ pi} \ vec {E} \ cdot \ left (r ^ 2 \ sin \ theta d \ theta d \ phi \ right) \ widehat r [ /matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ boxed {\ int_0 ^ {\ pi} \ int_0 ^ {2 \ pi} \ frac {1} {r ^ 2} \ widehat r \ cdot \ left (r ^ 2 \ sin \ theta d \ theta d \ phi \ right) \ widehat r = 4 \ pi} \ tag 3 [/ math]

Entonces, si E en [math] r = 0 [/ math] hubiera sido [math] \ infty [/ math], entonces la integral de la superficie también debería ser [math] \ infty [/ math] pero no lo es.

Entonces, en [math] r = 0 [/ math], la carga [math] q [/ math] viene dada por [math] \ displaystyle q | _ {r = o} = q \ delta ^ 3 (r) [ /matemáticas]

donde [math] \ delta ^ 3 (r) [/ math] es la función delta de Dirac – Wikipedia

Siguiente parte de tu pregunta

¿Por qué E en el centro de una cáscara o esfera esférica es cero?

Bueno, este es bastante simple porque en el centro no existe ninguna carga, solo aplica la Ley de Gauss considerando una esfera imaginaria y luego reduce su radio a cero, ¿ahora encierra alguna carga ?, ¡NO!

O bien, si desea comprender qué sucede realmente, vea si considero un punto en el centro y calculo manualmente el campo eléctrico debido al resto de la carga, entonces será cero, ¿por qué? Imagine algo como esto, considere un eje de coordenadas y coloque dos cargas del mismo signo e igual magnitud, una en [math] (0, y, 0) [/ math] y otra en [math] (0, -y, 0) [/ math], ahora cuál es el valor de E en [math] (0,0,0) [/ math] es cero. de manera similar, coloque los cargos en [matemática] (- x, 0,0) [/ matemática] y [matemática] (x, 0,0) [/ matemática] ahora la E todavía es cero en el centro [matemática] (0,0 , 0) [/ matemáticas]. De manera similar, llena todo el espacio con un par de carga a una distancia igual de [matemática] (0,0,0) [/ matemática] y todos se combinan para darte cero E.

PD: ¿Por qué te dije que lo hicieras en pareja e igual distancia ?, porque he considerado que la esfera tiene una carga uniforme.

[matemáticas] \ enorme \ enorme \ ddot \ sonrisa [/ matemáticas]

¡SALUDOS!