¿Cuál es la raíz cuadrada de 30 * 31 * 32 * 33 + 1?

Answer 1

tl; dr: La diferencia de cuadrados es tu amigo, en una variedad de formas.

A continuación hay 4 métodos, luego un acceso directo, luego una generalización del problema extendiéndolo al producto de * any * 4 enteros en * any * progresión aritmética.

Sea n = 31, entonces la expresión 30 * 31 * 32 * 33 + 1 se convierte en:

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Método 1: (un poco al azar)

[matemáticas] (n-1) (n) (n + 1) (n + 2) +1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (n-1) (n + 1) (n) (n + 2) +1 = [30 * 32 * 31 * 33 + 1] [/ matemáticas]

[matemáticas] = (n-1) (n + 1) * [(n + 1) -1] [(n + 1) +1] +1 = [((31 ^ 2) -1 ^ 2) (( 32 ^ 2) -1 ^ 2) +1] [/ matemáticas]

[matemáticas] = (n ^ 2-1) [(n + 1) ^ 2-1] +1 [/ matemáticas] [¡diferencia de cuadrados!]

[matemáticas] = (n ^ 2) [(n + 1) ^ 2-1] – [(n + 1) ^ 2-1] +1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = n * n * (n + 1) ^ 2-n * n – [(n + 1) ^ 2-1] +1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = [n * (n + 1)] ^ 2-n * n- (n * n + 2n + 1-1) +1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = [n * (n + 1)] ^ 2-n * nn * n-2n + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = [n * (n + 1)] ^ 2-2n ^ 2-2n + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = [n * (n + 1)] ^ 2-2 [n * (n + 1)] + 1 = [n * (n + 1) -1] ^ 2 [/ matemáticas]

así que la raíz cuadrada de eso es solo [matemáticas] [n * (n + 1) -1] [/ matemáticas]

que en este caso es [matemática] [31 * 32–1] = 992–1 = 991 [/ matemática].

Similar…

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Método 2: (un poco más elegante)

[matemáticas] (n-1) (n) (n + 1) [(n + 1) +1] +1 [/ matemáticas]

[matemáticas] (n ^ 2-n) [(n + 1) ^ 2 + (n + 1)] + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] [n (n + 1)] ^ 2-n (n + 1) ^ 2 + n ^ 2 * (n + 1) -n (n + 1) +1 [/ matemáticas]

[matemáticas] [n (n + 1)] ^ 2– [n (n + 1)] [(n + 1) -n + 1] +1 [/ matemáticas]

[matemáticas] [n (n + 1)] ^ 2– [n (n + 1)] (1 + 1) +1 [/ matemáticas]

[matemáticas] [n (n + 1) ^ 2–2 [n (n + 1)] + 1 [/ matemáticas]

que tiene la forma [matemática] a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 [/ matemática] con [matemática] a = [n (n + 1)] [/ matemática] y [matemática] b = -1 [/ matemática ], entonces,

[matemáticas] [n (n + 1) -1] ^ 2 [/ matemáticas]

o tomando una táctica diferente …

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Método 3: (bastante más agradable)

[matemáticas] (n-1) (n) (n + 1) (n + 2) +1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (n-1) (n + 2) (n) (n + 1) +1 [/ matemáticas], por comunidad

[matemáticas] = (n ^ 2 + n-2) (n ^ 2 + n) +1 [/ matemáticas], distribuyendo un poco

[matemáticas] = ([n * (n + 1)] – 2) ([n * (n + 1)]) + 1 [/ matemáticas], por asociatividad

[matemáticas] = ([n * (n + 1)] – 2 + 1–1) ([n * (n + 1)] – 1 + 1) +1 [/ matemáticas], sumando + 1–1 a cada factor

[matemáticas] = ({[n * (n + 1)] – 1} – {1}) ({[n * (n + 1)] – 1} + {1}) + 1 [/ matemáticas], por asociatividad

[matemáticas] = ({[n * (n + 1)] – 1} ^ 2- {1} ^ 2) +1 [/ matemáticas], por diferencia de cuadrados

[matemáticas] = {[n * (n + 1)] – 1} ^ 2-1 + 1 [/ matemáticas], por asociatividad

[matemáticas] = [(n * (n + 1)) – 1] ^ 2 [/ matemáticas], cancelando las

que es el mismo resultado que el anterior.

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Método 4: (respuesta de Leo Nessi, pero con variables)

Ese Método 3 es una combinación del primer método anterior con la versión generalizada aquí de la respuesta de Leo Nessi (donde m = 30):

[matemáticas] (m (m + 3)) ((m + 1) (m + 2)) + 1 [/ matemáticas]

[matemática] = (m ^ 2 + 3m) (m ^ 2 + 3m + 2) +1 [/ matemática] expandiendo un poco

[matemática] = (m ^ 2 + 3m + 1-1) (m ^ 2 + 3m + 2-1 + 1) +1 [/ matemática] insertando [matemática] + 1–1 [/ matemática] en los dos factores

[matemáticas] = ([m ^ 2 + 3m + 1] -1) ([m ^ 2 + 3m + 1] +1) [/ matemáticas] por asociatividad

[matemática] = ([m ^ 2 + 3m + 1] ^ 2-1 ^ 2) +1 [/ matemática] por diferencia de cuadrados

[matemáticas] = [m ^ 2 + 3m + 1] ^ 2-1 + 1 [/ matemáticas] por asociatividad

[math] = [m ^ 2 + 3m + 1] ^ 2 [/ math] cancelando el [math] 1 [/ math] s

entonces la raíz cuadrada de eso es solo [matemáticas] [m ^ 2 + 3m + 1] = 900 + 90 + 1 = 991 [/ matemáticas]

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Acceso directo a través del punto de similitud:

En muchos de estos métodos, muy pronto obtenemos una línea que es algo como,

[matemática] (x + 2) (x) +1 [/ matemática] [o más generalmente, [matemática] a * b + 1 [/ matemática] donde [matemática] | ab | = 2 [/ matemática]]

que instantáneamente nos dice que tenemos un cuadrado perfecto ya que es igual a

[matemáticas] ([x + 1] +1) ([x + 1] -1) +1 [/ matemáticas], que es

[matemáticas] ([x + 1] ^ 2–1 ^ 2) +1 [/ matemáticas], que es

[matemáticas] [x + 1] ^ 2–1 + 1 [/ matemáticas] que es solo

[matemáticas] [x + 1] ^ 2 [/ matemáticas]

así que si puedes ver qué es [math] x [/ math] desde el principio, puedes ahorrarte un montón de álgebra y simplemente saltar directamente al final desde allí.

Esto también generaliza bastante directamente del Método 3 para * cualquier * serie aritmética de 4 números, siempre que el espacio entre ellos sea constante (redundante, lo sé):

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Generalización:

[matemáticas] (np) (n) (n + p) (n + 2p) + p ^ 4 [/ matemáticas] es siempre un cuadrado (para enteros n y p) ya que …

[matemáticas] = (np) (n + 2p) (n) (n + p) + p ^ 4 [/ matemáticas], por comunidad

[matemática] = (n ^ 2 + np-2p ^ 2) (n ^ 2 + np) + p ^ 4 [/ matemática], distribuyendo un poco [luego omita los dos pasos siguientes si usa el acceso directo de arriba a ir directamente a la diferencia de cuadrados, o simplemente pasar por el álgebra:]

[matemáticas] = (n ^ 2 + np-p ^ 2-p ^ 2) (n ^ 2 + np-p ^ 2 + p ^ 2) + p ^ 4 [/ matemáticas], ya que [matemáticas] 2a = a + a [/ matemáticas] y [matemáticas] 0 = aa [/ matemáticas]

[matemáticas] = [(n ^ 2 + np-p ^ 2) -p ^ 2] [(n ^ 2 + np-p ^ 2) + p ^ 2] + p ^ 4 [/ matemáticas], por asociatividad

[matemáticas] = (n ^ 2 + np-p ^ 2) ^ 2- (p ^ 2) ^ 2 + p ^ 4 [/ matemáticas], por diferencia de cuadrados

[matemáticas] = [n (n + p) -p ^ 2] ^ 2 [/ matemáticas], ya que [matemáticas] (p ^ 2) ^ 2 = p ^ 4 [/ matemáticas]

y la raíz cuadrada de esto es:

[matemáticas] [n (n + p) -p ^ 2] [/ matemáticas]

que se reduce a la solución original para enteros consecutivos (cuando [math] p = 1 [/ math])!

¡¡Hurra!! 🙂

[Vale la pena señalar también que la identidad se mantiene si n y p son enteros; es solo que el “número cuadrado” no es realmente demasiado interesante en los Reales, etc.]

Answer 2

Claramente, los cálculos para resolver este problema son laboriosos, así que tratemos de resolverlo sin calculadora, sin multiplicarlo todo.

Intentemos usar variables en lugar de números. Podemos dejar que [math] n = 31 [/ math]. Entonces deseamos encontrar [math] \ sqrt {(n-1) n (n + 1) (n + 2) +1} [/ math]. Expandir da [math] \ sqrt {n ^ 4 + 2n ^ 3-n ^ 2-2n + 1}. [/ Math]

Ahora esperamos que esta cantidad sea un cuadrado perfecto, para que nuestros cálculos se simplifiquen. Si es así, debería tener la forma [matemática] (n ^ 2 + an + b) ^ 2 [/ matemática]. Coeficientes de coincidencia nos dice que nuestra cantidad de hecho se simplifica a [matemáticas] n ^ 2 + n-1 [/ matemáticas].

Por lo tanto, nuestra respuesta es [matemáticas] 991 [/ matemáticas]. ¡Uf! ¡Una calculadora sería suficiente, pero tú y yo sabemos que ese no era el propósito de esta pregunta!

Answer 3

[matemáticas] n (n + 12) (n + 2) (n + 3) +1 = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {(2n) (2n + 2) (2n + 4) (2n + 6)} {16} +1 = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {(2n + 3 -3) (2n + 3 -1) (2n + 3 +1) (2n + 3 +3)} {16} +1 = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {(2n + 3 -3) (2n + 3 +3) (2n + 3 -1) (2n + 3 +1)} {16} +1 = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {((2n + 3) ^ {2} -9) (2n + 3) ^ {2} -1)} {16} +1 = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {(((2n + 3) ^ {2} -5) -4) ((2n + 3) ^ {2} -5) +4)} {16} +1 = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {((2n + 3) ^ {2} -5) ^ {2} -16} {16} +1 = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {((2n + 3) ^ {2} -5) ^ {2}} {16} -1 +1 = [/ matemáticas]

[matemática] \ left (\ frac {(2n + 3) ^ {2} -5} {4} \ right) ^ {2} = [/ math]

[matemática] \ izquierda (\ frac {4n ^ 2 + 12n + 9-5} {4} \ derecha) ^ {2} = [/ matemática]

[matemática] \ izquierda (n ^ 2 + 3n + 1 \ derecha) ^ {2} [/ matemática]

Answer 4

Veamos la ecuación general.

[matemáticas] p (p + 1) (p + 2) (p + 3) +1 [/ matemáticas]

Observa eso

[matemáticas] p (p + 3) = p ^ {2} + 3p [/ matemáticas] y [matemáticas] (p + 1) (p + 2) = p ^ {2} + 3p + 2 [/ matemáticas].

Si definimos [matemáticas] q = p ^ {2} + 3p + 1 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] p (p + 3) = q-1 [/ matemáticas] y [matemáticas] (p + 1) ( p + 2) = q + 1 [/ math] y así nuestra ecuación se convierte en un cuadrado:

[matemáticas] p (p + 1) (p + 2) (p + 3) +1 = [/ matemáticas]

[matemáticas] p (p + 3) (p + 1) (p + 2) +1 = [/ matemáticas]

[matemáticas] (q-1) (q + 1) + 1 = q ^ 2–1 + 1 = [/ matemáticas]

[matemáticas] q ^ 2 = (p ^ 2 + 3p + 1) ^ 2 [/ matemáticas].

Entonces, la raíz cuadrada del producto de 4 números consecutivos (comenzando con p) más uno siempre es igual a

[matemáticas] p ^ {2} + 3p + 1 [/ matemáticas]