¿Cuántos conjuntos finitos [math] S \ subset \ mathbb {N} _ {> 0} [/ math] existen para los cuales [math] \ log (\ sum_ {n \ in S} n) = \ sum_ {n \ in S} \ log (n) [/ math] es verdadero (por ejemplo, el conjunto [math] \ {1,2,3 \} [/ math])?

Answer 1

Primero, use la función exponencial (suponiendo que estamos usando un registro natural, pero, por supuesto, cualquier registro funciona, simplemente cambie la base en consecuencia) y haga algo de álgebra.

[math] log (\ sum_ {n \ in S} {} n) = \ sum_ {n \ in S} {} log (n) \\ [/ math]

[math] \ Leftrightarrow exp (log (\ sum_ {n \ in S} {} n)) = exp (\ sum_ {n \ in S} {} log (n)) \\ [/ math]

[matemáticas] \ Leftrightarrow \ sum_ {n \ in S} {} n = \ prod_ {n \ in S} {} exp (log (n)) \\ [/ math]

[matemáticas] \ Leftrightarrow \ sum_ {n \ in S} {} n = \ prod_ {n \ in S} {} n \\ [/ math]

Por lo tanto, estamos buscando un conjunto de números naturales [matemática] S [/ matemática] para que su suma sea igual a su producto. Resulta que para cada [matemática] n_0 \ geq 2 [/ matemática] tal que [matemática] \ izquierda | S \ right | = n_0 [/ math] existe al menos un conjunto con esa propiedad. (La prueba se puede encontrar en un documento de Leo Kurlandchik y Andrzej Nowicki. Es bastante simple de entender y puede encontrarlo aquí: http://www-users.mat.umk.pl/~ano…. Es su Teorema 2 .)

Finalmente, como hay infinitos números naturales, también hay infinitos conjuntos con la propiedad deseada.

Editar: como se sugirió, el documento mencionado utiliza multisets, es decir, un elemento puede ser un elemento del conjunto más de una vez, por lo que esto solo es válido para multisets.

Sin embargo, esta pregunta se refiere a conjuntos, así que déjame abordar eso.

[matemáticas] \ izquierda | S \ right | = 0 [/ math]: para el conjunto vacío [math] \ {\} [/ math] probablemente se trate de definir la suma y el producto de cero números naturales, pero por ahora digamos que no satisface la propiedad.

[matemáticas] \ izquierda | S \ right | = 1 [/ math]: cada conjunto con un solo elemento satisface trivialmente la propiedad.

[matemáticas] \ izquierda | S \ right | = 2 [/ math]: los únicos dos números naturales que satisfacen la propiedad serían 2 y 2 (como [math] 2 + 2 = 4 = 2 * 2 [/ math]), sin embargo, eso no es un conjunto.

[matemáticas] \ izquierda | S \ right | = 3 [/ math]: el único conjunto con tres números naturales para satisfacer la propiedad es [math] \ {1,2,3 \} [/ math] que ya mencionó

[matemáticas] \ izquierda | S \ right | \ geq4 [/ math]: para conjuntos con al menos números naturales, la propiedad nunca será satisfecha.

Por lo tanto, todos los conjuntos con un solo elemento y [math] \ {1,2,3 \} [/ math] satisfacen la propiedad deseada. Entonces, la respuesta es infinitamente muchos conjuntos o exactamente un conjunto, dependiendo de si desea [matemáticas] \ left | S \ right | \ geq2 [/ math].

Answer 2

La condición se cumple trivialmente cuando [math] | S | = 1 [/ math].

Nunca se satisface cuando [matemática] | S | = 2 [/ matemática], es decir, [matemática] S = \ {a, b \} [/ matemática] para alguna [matemática] a, b \ in \ N [/ matemática ] Esto se debe a que [matemáticas] a \ cdot b = a + b \ iff a = b = 2 [/ matemáticas], no está permitido en la configuración del problema que trata con conjuntos.

Cuando [math] | S | = 3 [/ math] solo [math] \ {1,2,3 \} [/ math] funciona. El trabajo a continuación puede iluminar por qué es así.

Cuando [matemáticas] | S | \ geq 4 [/ math] no se puede encontrar dicho conjunto. Digamos, sin pérdida de generalidad, [math] S = \ {e_1, e_2, \ cdots e_n \} [/ math], donde los elementos están aumentando. Entonces, para que tengamos [matemáticas] e_1 + e_2 + \ cdots e_n = e_1 \ cdot e_2 \ cdot \ cdots e_n [/ matemáticas] necesitamos [matemáticas] e_1 + e_2 + \ cdots e_ {n-1} = (e_1 \ cdot e_2 \ cdot \ cdots e_ {n-1} -1) \ cdot e_n [/ math]. Combinando esto con las observaciones [matemáticas] (n-1) \ cdot e_ {n-1}> e_1 + e_2 + \ cdots e_ {n-1} [/ matemáticas] y [matemáticas] e_1 \ cdot e_2 \ cdot \ cdots e_ {n-1} \ geq (n-1)! [/ math], obtenemos [math] (n-1)> (n-1)! – 1 [/ math], solo es posible cuando [math] n = 2,3 [/ math] y [math] n = 2 [/ math] se trató anteriormente.

Answer 3

A2A, gracias.

Ninguno, ya que – [math] \ log (x) [/ math] es una función estrictamente convexa – Wikipedia sobre el semiaxis positivo [math] x> 0 [/ math], como se puede verificar calculando la segunda derivada de la función .