¿Qué es [math] \ displaystyle \ int (1+ \ sin 2x) (1+ \ cos 2x) ^ 2 [/ math] dx?

Answer 1

La respuesta corta:

[matemáticas] \ int (1+ \ sin (2x)) (1+ \ cos (2x)) ^ {2} dx = \ frac {1} {24} (36x + 24 \ sin (2x) +3 \ sin (4x) -15 \ cos (2x) -6 \ cos (4x) – \ cos (6x)) + C [/ matemáticas]

Eso es de Computational Knowledge Engine (Wolframalpha).

Puede usar este, si no es uno de sus problemas de asignación.
Si este es un problema de asignación, siga esto:

La solución larga:

[matemáticas] \ int (1+ \ sin (2x)) (1+ \ cos (2x)) ^ {2} dx = \ int (1+ \ cos (2x)) ^ {2} dx + \ int (1+ \ cos (2x)) ^ {2} \ sin (2x) dx [/ math]

Dejar

[matemáticas] I = I_ {1} + I_ {2} [/ matemáticas]

Resolviendo [matemáticas] I_ {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] I_ {1} = \ int (1+ \ cos (2x)) ^ {2} dx [/ matemáticas]

Expandiendo el cuadrado:

[matemáticas] I_ {1} = \ int (1 + 2 \ cos (2x) + \ cos ^ {2} (2x)) dx [/ matemáticas]

Usando la identidad: [matemáticas] 2 [/ matemáticas] [matemáticas] \ cos ^ {2} (x) = 1 + \ cos (2x) [/ matemáticas]

[matemáticas] I_ {1} = \ int dx + 2 \ int \ cos (2x) dx + \ int [\ frac {1+ \ cos (4x)} {2}] dx [/ matemáticas]

[matemáticas] I_ {1} = x + \ sin (2x) + \ frac {x} {2} + \ frac {\ sin (4x)} {8} + C [/ matemáticas]

[matemáticas] I_ {1} = \ frac {3x} {2} + \ sin (2x) + \ frac {\ sin (4x)} {8} + C [/ matemáticas]

Ahora integrando la segunda integral:

[matemáticas] I_ {2} = \ int (1+ \ cos (2x)) ^ {2} \ sin (2x) dx [/ matemáticas]

Supongamos:

[matemáticas] f (x) = (1+ \ cos (2x)) [/ matemáticas]

Por lo tanto,

[matemática] f ‘(x) = – 2 \ sin (2x) dx [/ matemática]

Y

[matemáticas] I_ {2} = – \ frac {1} {2} \ int (f (x)) ^ {2} f ‘(x) [/ matemáticas]

[matemáticas] I_ {2} = – \ frac {1} {2} \ frac {f (x) ^ {3}} {3} = – \ frac {1} {6} (1+ \ cos (2x) ) ^ {3} [/ matemáticas]

Expandiendo el cubo:

[matemáticas] I_ {2} = – \ frac {1} {6} (1+ \ cos ^ {3} (2x) +3 \ cos ^ {2} (2x) +3 \ cos (2x)) [/ matemáticas]

Usando la identidad: [matemáticas] \ cos ^ {3} (x) = \ frac {\ cos (3x) +3 \ cos (x)} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] I_ {2} = – \ frac {1} {6} (1+ \ frac {\ cos (6x) +3 \ cos (2x)} {4} + \ frac {3} {2} (1 + \ cos (4x)) + 3 \ cos (2x)) [/ matemáticas]

[matemática] I_ {2} = \ frac {1} {24} (- 10- \ cos (6x) -6 \ cos (4x) -15 \ cos (2x)) + C ‘[/ matemática]

[matemáticas] I_ {2} = \ frac {1} {24} (- \ cos (6x) -6 \ cos (4x) -15 \ cos (2x)) + C ” [/ matemáticas]

Un poco de manipulación y tomar todas las constantes juntas:

[matemáticas] I = \ frac {3x} {2} + \ sin (2x) + \ frac {\ sin (4x)} {8} + \ frac {1} {24} (- \ cos (6x) -6 \ cos (4x) -15 \ cos (2x)) + K [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ frac {1} {24} (36x + 24 \ sin (2x) +3 \ sin (4x) – \ cos (6x) -6 \ cos (4x) -15 \ cos (2x)) + K [/ matemáticas]

Answer 2

= 3x / 2 + (sin 2x) / 2 – (cos 2x) / 2 + (sin 4x) / 8 – (cos 4x) / 4 – (cos 2x) ^ (3) / 6. Responder .

Resolví esta pregunta rápidamente, así que no estoy 100% seguro, pero déjame decirte cómo hacerlo,

1. Abrir todos los corchetes. {Cuadra el (1 + cos 2x) y luego multiplícalo con (1 + sen 2x)}
2. Separe todos los términos por la propiedad de integración. Ahora, algunas de las integraciones son fáciles como la integración de 1, sen 2x y cos 2x. {lo cual hice directamente por las fórmulas sin (ax + b) y cos (ax + b)}
3. Ahora, quedarán 3 términos que son (cos 2x) ^ (2), [sin 2x × (cos 2x) ^ (2) y 2 (sin 2x) (cos 2x).
4. Estos 3 términos diferentes se resolverán mediante 3 métodos diferentes, primero por fórmula de medio ángulo, segundo por sustitución (deje cos 2x = t y sustituya dx por dt y cos 2x por t) y su término por fórmula de doble ángulo cambiando el tercer término en sen 4x (que es igual a 2 (sen 2x) (cos 2x)).

Espero que entiendas mi método. Este problema se puede resolver de más de 1 maneras (método) y la respuesta será diferente para cada método, pero eso no significa que otras respuestas no sean correctas. Probablemente obtendrá una calificación máxima en la prueba o examen porque depende de hacerlo correctamente y obtener una respuesta.

Answer 3

Déjame intentarlo realmente duro …

Necesitamos alguna fórmula preliminar:

① c ^ 4

= (1-s²) c²

= c²-s²c²

= ½ (1 + cos2x) -¼sin²2x

= ½ + ½cos2x- (1/8) (1-cos4x)}

= (3/8) + ½cos2x + (1/8) cos4x

② ∫cos ^ (4) x dx = (3x / 8) + ¼sin2x + (1/32) sin4x + C

RE REESCRIBAMOS el integrando ORIGINAL f (x) como:

f (x)

= (1 + cos2x) ² + sin2x (1 + cos2x) ²

= 4 (cosx) ^ 4-½ {-2sin2x} {1 + cos2x} ²

④∴

∫f (x) dx

= (3x / 2) + sin2x + (1/8) sin4x- (1/6) {1 + cos2x} ³ + C

Hecho … no está mal … ♬♬