La gráfica de [matemáticas] f (x) = x ^ 2 + 6 [/ matemáticas] tiene una tangente en [matemáticas] x = a [/ matemáticas]. La tangente pasa por el punto (2,1). ¿Cuál es la ecuación de la tangente?

Answer 1

Diferenciar para encontrar el gradiente en [matemáticas] x = a [/ matemáticas].

[matemáticas] f (x) = x ^ 2 + 6 [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = 2x = 2a [/ matemáticas]

Encuentre la ecuación de la tangente en [matemáticas] x = a [/ matemáticas] en general.

[matemáticas] y-y_1 = m (x-x_1) [/ matemáticas]

[matemáticas] ya ^ 2-6 = 2a (xa) [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 2ax + 6-a ^ 2 [/ matemáticas]

Esta es una fórmula general para cualquier tangente.

Sub en (2,1) para [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas].

[matemáticas] 1 = 4a-a ^ 2 + 6 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2-4a-5 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (a-5) (a + 1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] a = 5, -1 [/ matemáticas]

Sumergiéndolos en la fórmula anterior, las dos tangentes son [matemáticas] y = 10x-19 [/ matemáticas] y [matemáticas] y = -2x + 5 [/ matemáticas].

Así es como se ve con la calculadora gráfica Desmos.

Answer 2

Deje que la ecuación de la tangente sea [matemática] y = mx + b. [/ Matemática] Encuentre el punto de intersección de la línea con la parábola. [matemática] mx + b = x ^ 2 + 6 \ Rightarrow x ^ 2-mx + 6-b = 0. [/ matemática] Esta ecuación puede tener una sola solución, por lo que su discriminante debe ser 0. Es decir, [matemática ] m ^ 2-24 + 4b = 0. [/ math] Dado que (2,1) está en la línea, [math] b = 1-2m. [/ math] Entonces [math] m ^ 2-24 + 4 -8m = 0 [/ matemática] o [matemática] m ^ 2-8m-20 = 0 [/ matemática] que factoriza como [matemática] (m-10) (m + 2) = 0. [/ Matemática] Cuando [ matemática] m = 10, [/ matemática] [matemática] b = -19 [/ matemática] y cuando [matemática] m = -2, [/ matemática] [matemática] 5. [/ matemática]

Entonces las dos ecuaciones son [matemáticas] y = -2x + 5 [/ matemáticas] y [matemáticas] y = 10x-19. [/ Matemáticas]

Answer 3

pendiente de la fórmula de la línea tangente
[matemáticas] m_ {tan} = lim_ {h → 0} \ frac {f (x_ {0} + h) – f (x_ {0})} {h} [/ matemáticas]

[matemáticas] m_ {tan} = lim_ {h → 0} \ frac {f (2 + h) – f (2)} {h} [/ matemáticas]

sustituya [matemática] 2 + h [/ matemática] por [matemática] x [/ matemática] [matemática] (2 + h) ^ 2 + 6 = (h ^ 2 + 4h +4) – 10 [/ matemática]

[matemáticas] = (2 + h) ^ 2 + 4 – 10 [/ matemáticas]

[matemáticas] = h ^ 2 + 4h – 6 [/ matemáticas]

toma el límite

[matemáticas] = lim_ {h → 0} \ frac {h ^ 2 + 4h – 6} {h} [/ matemáticas]

[matemáticas] = lim_ {h → 0} h + 4 – límite_ {h → 0} 6 [/ matemáticas]

[matemática] = -2 [/ matemática] (la pendiente de la tangente es [matemática] -2 [/ matemática])

[matemática] y-1 = -2 (x-2) [/ matemática] (fórmula punto-pendiente)

[matemáticas] y = -2x + 4 + 1 [/ matemáticas]

[matemática] y = -2x + 5 [/ matemática] (línea tangente en x = 2)

[matemáticas] [/ matemáticas]