Entonces, esta expresión no tiene una respuesta algebraica limpia (como ya habrás adivinado).
Primero consideraría cada lado de la ecuación como su propia curva y trazaría estas curvas solo para tener una idea de si estamos buscando un número grande o pequeño como nuestra solución.
Si traza las curvas, puede ver que su intersección se produce en un número pequeño y negativo.
Ahora aquí está la parte divertida. Como dije antes, no hay mucho que el álgebra pueda hacer por usted en este caso, así que debemos comenzar a pensar en el “carácter” de cada función. Lo primero que noto es que [math] 16 ^ x [/ math] tiene un poder de [math] 2 [/ math] como base ([math] 16 = 2 ^ 4 [/ math]). Por lo tanto, si hay alguna esperanza de encontrar una solución fácil, deberíamos comenzar probando potencias de 2. Lo siguiente que noto es que la respuesta será el cuadrado de un número ya que tenemos [matemáticas] x ^ 2 [ / matemáticas] en el otro lado.
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En este punto, comenzamos a adivinar. Probaré el primer número pequeño (fraccionario) que es una potencia de [math] 2 [/ math] y lo negaré. Ese número es [matemáticas] -1/2 [/ matemáticas].
[matemáticas] (- \ frac {1} {2}) ^ 2 = 16 ^ {- (1/2)} [/ matemáticas]?
[matemáticas] \ frac {1} {4} = \ frac {1} {4} [/ matemáticas]
¡Dulce! ¡Eso funcionó (para números reales)! Las respuestas complejas pueden requerir que veamos el formulario un poco diferente.
Al intentar problemas como este, lo más importante que puede hacer es elegir patrones sobre el “carácter” de cada función involucrada. De ninguna manera es una bala de plata para la solución, pero es un buen punto de partida.
Otras formas de abordar el problema:
- Método de Newton (para encontrar raíces de funciones)
- Método de punto fijo (técnicamente un caso especial de lo anterior, pero con diferente tasa de convergencia a una solución aproximada).
- Encontrar la expansión de Taylor de [matemáticas] 16 ^ x [/ matemáticas]. Puede reescribirlo como [math] e ^ {x (\ ln16)} [/ math] y sub en el formulario para [math] e ^ x [/ math]. Es cierto que esta ruta probablemente lo llevará de regreso a donde comenzó, pero no es un mal lugar para comenzar a experimentar si no tiene otras ideas.
Los tres métodos anteriores le brindarán soluciones aproximadas. Entonces sería su trabajo notar el valor al que se acercaban las secuencias y adivinar su respuesta exacta. Esto supone que satisfacemos los criterios apropiados para su uso. (Si no está familiarizado con los métodos numéricos, obtiene una secuencia de valores que, en las condiciones adecuadas, convergen a la solución exacta).
Estos métodos también requieren cálculo y son mucho menos elegantes que el primer método que presenté. Espero que haya ayudado a responder su pregunta!