Si 31A + 30B + 29C = 366, ¿cuál es el valor de A + B + C?

Answer 1

* A2A

Cambiaré el formato a lo siguiente … entonces puedo seguir junto con el algoritmo.

Algoritmo:

• Considere la ecuación lineal de diofantina en tres variables. [math] ax + by + cz = d \ tag * {} [/ math]
• Si [math] \ text {gcd} (a, b, c) \ mid d [/ math], entonces la ecuación es solucionable.
• Calcule [math] p = \ text {gcd} (a, b) [/ math] y establezca [math] a ‘= \ dfrac ap, b’ = \ dfrac bp \ tag * {} [/ math]
• Para [matemática] a’u + b’v = c [/ matemática] encuentre cualquier solución [matemática] (u_0, v_0) [/ matemática]. Esto es posible si [math] \ text {gcd} (a ‘, b’) \ mid c [/ math]
• Para [math] cz + pt = d [/ math] encuentre cualquier solución [math] (z_0, t_0) [/ math]. Esto es posible si [math] \ text {gcd} (c, p) \ mid d [/ math]
• Para [matemática] a’x + b’y = t_0 [/ matemática] encuentre cualquier solución [matemática] (x_0, y_0) [/ matemática]. Esto es posible si [math] \ text {gcd} (a ‘, b’) \ mid t_0 [/ math]
• La solución viene dada por [matemáticas] \ begin {cases} x = x_0 + b’k-u_0m \\ y = y_0-a’k-v_0m \\ z = z_0 + pm \ end {cases} \\\ text {where } m, k \ in \ mathbb Z \ tag * {} [/ math]

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[matemáticas] \ begin {align} 31x + 30y + 29z & = 366 \\\ hline \ text {gcd} (31,30) & = 1 \\ a ‘& = \ dfrac {31} 1 = 31 \\ b’ & = \ dfrac {30} 1 = 30 \\\ hline a’u + b’v & = c \\ 31u + 30v & = 29 \\\ text {Uso extendido} & \ text {Algoritmo euclidiano} \\ 31 & = 30 \ times 1 + 1 \\ 31-30 \ times1 & = 1 \\ 31 \ cdot (29) +30 \ cdot (-29) & = 29 \\ (u_0, v_0) & = (29, -29) \\ \ hline cz + pt & = d \\ 29z + t & = 366 \\ 29 \ cdot12 + 18 & = 366 \\ (z_0, t_0) & = (12,18) \\\ hline31x + 30y & = 18 \\ 31 \ cdot (1) +30 \ cdot (-1) & = 1 \ qquad [\ text {Since gcd} (31,30) = 1] \\ 31 \ cdot (18) +30 \ cdot (-18) & = 18 \\ (x_0, y_0) & = (18, -18) \\\ hline x & = 18 + 30k-29m \\ y & = – 18-31k + 29m \\ z & = 12 + m \\ & \ text {donde } m, k \ in \ mathbb Z \ end {align} \ tag * {} [/ math]

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Como podemos elegir cualquier número entero para [math] m, k [/ math]

Al elegir [matemática] m = k = 0 [/ matemática] se obtiene [matemática] x = 18, y = -18, z = 12 [/ matemática]

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Pero esa es solo una solución. Quizás haya muchas soluciones. Es un poco tedioso poner las condiciones apropiadas en [matemáticas] m, k [/ matemáticas] para obtener las soluciones positivas. Así que tendré que codificar el resto …

  programa diofantina
     implícito ninguno
 entero m, k, x, y, z

	 do k = -100,100
		 do m = -100,100
			 x = 18 + 30 * k-29 * m
			 y = -18-31 * k + 29 * m
			 z = 12 + m

			 if (x> 0.and.y> 0.and.z> 0) entonces
				 si (31 * x + 30 * y + 29 * z == 366) entonces
					 escribir (*, *) x, y, z
				 terminara si
			 terminara si
		 fin hacer
	 fin hacer
 programa final

Nos da

Y un cheque final

  En: FrobeniusSolve [{31,30,29}, 366]
 Fuera: {(6,6,0), (7,4,1), (8,2,2), (9,0,3)}

Cuando sumamos las soluciones, siempre es igual a [matemáticas] 12 [/ matemáticas]. Lo mantendré así por ahora.

Answer 2

Para resolver 3 incógnitas, necesitas tres ecuaciones únicas.

Puede simplificar lo que se da por ser (366–29C-31A) / 30 = B.

Después de eso, puede agregar 30A / 30 y 30C / 30 para obtener A + B + C = (366 + CA) / 30, que literalmente se simplifica a la ecuación anterior, 31A + 30B + 29C = 366.

Si asumo que cada desconocido es un entero, llego a {A = 6, B = 6, C = 0,}; {A = 7, B = 4, C = 1,}; {A = 8, B = 2, C = 2,}; {A = 6, B = 0, C = 3,} pero hay otros decimales o fracciones igualmente probables. Infinitamente muchos, en realidad.

Si está buscando números enteros y A = / = B = / = C, entonces tiene dos soluciones. 7,4,1 y 6,0,3.

Answer 3

El problema no dice si a, b, c son números reales o enteros o imaginarios o lo que sea, así que vamos con enteros positivos (debido a la cantidad de meses de un año bisiesto que creo que fue el propósito de este problema en primer lugar )

Intentemos encontrar números enteros a, b, c> 0 o mejor a, b, c> = 1

31a + 30b + 29c = 366 =>

a + 30a + 30b + 30c – c = 360 + 6 =>

30 (a + b + c) = 360 + 6 + c – a =>

a + b + c = 12 + (6 + ca) / 30

Ahora la fracción (6 + ca) / 30 tiene que ser un número entero.

Entonces 6 + ca = 30k => c = 30k-6 + a => c> 30k-6 porque a> 0

si k> 0 que c> 24, que es demasiado grande para la ecuación original 31a + 30b + 29c = 366, entonces k = 0 y 6 + ca = 0 y a + b + c = 12

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Llevándolo un poco más lejos 6 + ca = 0 => c = a-6

También a + b + c = 12 y a> = 1 y b> = 1 y c> = 1, lo que significa 1 <= a, b, c <= 10

Entonces c = a-6 => c = 1,2,3,4

También c = a-6 => a = 6 + c que nos da 31a + 30B + 29C = 366 => 31 (6 + c) + 30b + 29c = 366 => 30b + 60c = 180 => b + 2c = 6 6

Si c = 1 b = 4 y a = 7

Si c = 2 b = 2 y a = 8

c = 3 y c = 4 no son aplicables.

Entonces la solución entera positiva es 7,4,1 y 8,2,2