Si [matemática] m ^ 2 + n ^ 2 = 754 [/ matemática], ¿cuáles son los valores de [matemática] m [/ matemática] y [matemática] n [/ matemática]?

Answer 1

Como ya señaló Doug Dillon, la factorización de [math] 754 = 2 \ cdot 13 \ cdot 29 [/ math] en números primos, ninguno de los cuales tiene la forma [math] 4k + 3 [/ math], demuestra que [ math] 754 [/ math] se puede expresar como la suma de dos cuadrados (enteros). Los factores primos son cada uno (únicamente) expresable como la suma de dos cuadrados: [matemática] 2 = 1 ^ 2 + 1 ^ 2 [/ matemática], [matemática] 13 = 3 ^ 2 + 2 ^ 2 [/ matemática], [ matemáticas] 29 = 5 ^ 2 + 2 ^ 2 [/ matemáticas]; la identidad [matemáticas] (a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) = (ad-bc) ^ 2 + (ac + bd) ^ 2 [/ matemáticas] completa la expresión como una suma de Dos cuadrados.

Usaré un atajo computacional .

Como [math] m ^ 2 + n ^ 2 [/ math] es par, [math] m [/ math] y [math] n [/ math] son ​​impares o ambos pares. Si ambos son pares, entonces [matemáticas] 4 \ mid m ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 4 \ mid n ^ 2 [/ matemáticas], y así [matemáticas] 4 \ mid (m ^ 2 + n ^ 2) [/ matemáticas]. Como [math] 4 \ nmid 754 [/ math], solo podemos tener [math] m [/ math] y [math] n [/ math] ambos impares .

Los cuadrados de enteros impares terminan en [matemática] 1 [/ matemática], [matemática] 5 [/ matemática] o [matemática] 9 [/ matemática]. Entonces, si dos de estos se suman para terminar en [matemáticas] 4 [/ matemáticas], debemos tener un extremo en [matemáticas] 5 [/ matemáticas] y el otro extremo en [matemáticas] 9 [/ matemáticas]. Si [math] m ^ 2 [/ math] termina en [math] 5 [/ math], [math] 5 \ mid m ^ 2 [/ math], entonces [math] 5 \ mid m [/ math]. Como [math] m [/ math] es impar , podemos escribir [math] m = 5 (2k + 1) [/ math]. Entonces [math] m ^ 2 = 100k (k + 1) +25 [/ math] termina en [math] 25 [/ math], y así [math] m ^ 2 \ in \ {5 ^ 2,15 ^ 2 , 25 ^ 2 \} = \ {25,225,625 \} [/ matemáticas]. Es fácil ver que [matemáticas] 754–25 = 27 ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 754–225 = 23 ^ 2 [/ matemáticas], mientras que [matemáticas] 754–625 [/ matemáticas] no es un cuadrado perfecto.

Por lo tanto, [math] \ {m, n \} = \ {\ pm 5, \ pm 27 \} [/ math] o [math] \ {\ pm 15, \ pm 23 \} [/ math]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

Dado que [math] 754 [/ math] [math] = 2 \ times 13 \ times 29 [/ math] notamos que ninguno de sus factores tiene la forma [math] 3mod4. [/ Math] Por lo tanto, se puede escribir como La suma de dos cuadrados. En primer lugar, [matemática] 13 = 2 ^ 2 + 3 ^ 2 [/ matemática] y [matemática] 29 = 2 ^ 2 + 5 ^ 2. [/ Matemática] Ahora usando la identidad Brahmagupta – Fibonacci

[matemáticas] \ left ({{a ^ 2} + {b ^ 2}} \ right) \ left ({{c ^ 2} + {d ^ 2}} \ right) = {\ left ({ac – bd } \ right) ^ 2} + {\ left ({ad + bc} \ right) ^ 2} [/ math]

[matemáticas] 157 = {11 ^ 2} + {16 ^ 2} [/ matemáticas]

Pero [matemáticas] 2 = {1 ^ 2} + {1 ^ 2} [/ matemáticas]. Entonces, usando DF Identity nuevamente.

[matemáticas] 754 = {5 ^ 2} + {27 ^ 2} [/ matemáticas].

Eso es todo: un posible conjunto de valores son 5 y 27.

Answer 3

Observe que [math] 754 \ equiv 2 \ mod 4 [/ math], lo que significa que [math] m [/ math] y [math] n [/ math] deben ser impares (porque cada número cuadrado impar es 1 módulo 4) .

Por cada cuadrado impar,

[matemática] (2k + 1) ^ 2 = 4k (k + 1) + 1 = \ dfrac {8k (k + 1)} 2 +1 \ tag * {} [/ matemática]

Eso significa que cada cuadrado impar se escribe como

[matemáticas] 8 \ Delta +1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

donde [math] \ Delta [/ math] se refiere a un número triangular.

Aquí tenemos

[matemáticas] 8 \ Delta_1 +1 +8 \ Delta_2 + 1 = 754 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Delta_1 + \ Delta_2 = 94 [/ matemáticas]

Eso reduce en gran medida el número de ensayos. Entonces podemos enumerar los números triangulares:

1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,…

Para ser más eficientes, podríamos intentarlo desde el número triangular más grande:

[matemáticas] 91 + 3 [/ matemáticas]

78 debería tener 16 como socio, pero no es un número triangular

[matemáticas] 66 + 28 [/ matemáticas]

55 debe tener 39 como socio, pero no es un número triangular.

De hecho, la búsqueda ha finalizado, por lo que debemos corresponder los números triangulares con los originales [math] m [/ math] y [math] n [/ math]. Pero debería ser fácil, porque solo necesitamos saber las [matemáticas] k [/ matemáticas] para recuperar esas dos incógnitas.

Primera rama de soluciones:

[matemáticas] (\ pm 5, \ pm 27), (\ pm 27, \ pm 5) [/ matemáticas]

Segunda rama de soluciones:

[matemáticas] (\ pm 15, \ pm 23), (\ pm 23, \ pm 15) [/ matemáticas]

¡Entonces esas son todas las soluciones!