¿Cómo resuelvo [math] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ frac {x ^ {10} -100} {\ ln x} dx [/ math]?

Answer 1

La integral dada no converge en [matemáticas] (0,1) [/ matemáticas]. Esto se puede verificar, por ejemplo, con Wolfram Alpha.

Calculemos la integral indefinida.

[matemáticas] {\ displaystyle I = \ int} \ dfrac {x ^ {10} -100} {\ ln \ left (x \ right)} \, \ mathrm {d} x \\ = {\ displaystyle \ int} \ left (\ dfrac {x ^ {10}} {\ ln \ left (x \ right)} – ​​\ dfrac {100} {\ ln \ left (x \ right)} \ right) \ mathrm {d} x \ \ = {\ displaystyle \ int} \ dfrac {x ^ {10}} {\ ln \ left (x \ right)} \, \ mathrm {d} x- \ class {steps-node} {\ cssId {steps- nodo-1} {100}} {\ displaystyle \ int} \ dfrac {1} {\ ln \ left (x \ right)} \, \ mathrm {d} x [/ math]

La primera integral anterior se puede resolver haciendo las sustituciones

[matemáticas] u = \ ln \ izquierda (x \ derecha) [/ matemáticas] y luego [matemáticas] v = 11u. [/ matemáticas]

Esto produce:

[matemáticas] {\ displaystyle \ int} \ dfrac {x ^ {10}} {\ ln \ left (x \ right)} \, \ mathrm {d} x \\ = {\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ mathrm {e} ^ {11u}} {u} \, \ mathrm {d} u \\ = {\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ mathrm {e} ^ v} {v} \, \ mathrm {d} v [/ matemáticas]

La última integral anterior es igual a la integral exponencial:

[matemáticas] \ operatorname {Ei} \ left (v \ right) = \ operatorname {Ei} \ left (11u \ right) = \ operatorname {Ei} \ left (11 \ ln \ left (x \ right) \ right) [/matemáticas]

La segunda integral es igual a una función especial llamada integral logarítmica:

[matemáticas] {\ displaystyle \ int} \ dfrac {1} {\ ln \ left (x \ right)} \, \ mathrm {d} x = \ operatorname {li} \ left (x \ right) [/ math]

Por lo tanto, la integral en la pregunta es:

[matemáticas] \ boxed {{\ displaystyle I = \ operatorname {Ei} \ left (11 \ ln \ left (x \ right) \ right) -100 \ operatorname {li} \ left (x \ right) + constante}} [/matemáticas]

Se sabe que la función integral logarítmica tiene una singularidad en [math] x = 1 [/ math], y que [math] \ operatorname {li} \ left (1 \ right) = – \ infty. [/ Math] Esto ayuda a explicar por qué la integral dada no converge en [matemáticas] (0,1) [/ matemáticas].

El hecho de que la integral definida en la pregunta no converja también se puede verificar con un CAS como Mathematica o Maple.

Para [math] n \ in \ mathbb {R}, [/ math] la integral

[matemáticas] {\ displaystyle I (n) = \ int_0 ^ n \ frac {x ^ {10} -100} {\ log (x)} \, dx} [/ matemáticas]

parece converger para [matemáticas] 0 \ leq n <1 [/ matemáticas] (verificado con Mathematica).

A continuación se muestra una lista de los valores numéricos de [matemática] I (n) [/ matemática] para [matemática] 0 \ leq n <1 [/ matemática] (hecha con Mathematica):

Answer 2

[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ frac {x ^ {10} -100} {\ ln x} \ mathrm {d} x \ tag * {} [/ matemáticas]

Consideremos un caso general

[matemáticas] \ displaystyle \ text {F} (p, x) = \ int_ {0} ^ {1} \ frac {x ^ {p} -k} {\ ln x} \ mathrm {d} x \ tag * {}[/matemáticas]

[math] p [/ math] es un nuevo parámetro que hemos introducido y [math] k [/ math] es una constante arbitraria,

Haciendo una diferenciación parcial con respecto a [matemáticas] p [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial (\ text {F} (p, x))} {\ partial p} = \ frac {\ partial} {\ partial p} \ int_ {0} ^ {1} \ frac {x ^ {p} -k} {\ ln x} \ mathrm {d} x \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial (\ text {F} (p, x))} {\ partial p} = \ int_ {0} ^ {1} \ frac {(\ ln x) x ^ {p -1}} {\ ln x} \ mathrm {d} x \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial (\ text {F} (p, x))} {\ partial p} = \ int_ {0} ^ {1} x ^ {p} \ mathrm {d} x \ etiqueta * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial (\ text {F} (p, x))} {\ partial p} = \ bigg [\ frac {x ^ p + 1} {p + 1} \ bigg] _ {0} ^ {1} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial (\ text {F} (p, x))} {\ partial p} = \ frac {1 ^ {p + 1}} {p + 1} – \ frac {0 } {p + 1} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ text {F} (p, x) = \ int \ frac {1} {p + 1} \ mathrm {d} p \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ text {F} (p, x) = \ ln | p + 1 | + c \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] c [/ matemáticas] es solo una constante arbitraria. entonces elegimos [matemática] c = 0 [/ matemática]

[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ frac {x ^ {p} -k} {\ ln x} \ mathrm {d} x = \ ln | p + 1 | \ tag * {} [ /matemáticas]

Elección de los números apropiados, [matemáticas] p = 10 [/ matemáticas], [matemáticas] k = 100 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ frac {x ^ {10} -100} {\ ln x} \ mathrm {d} x = \ ln | 10 + 1 | \ tag * {} [ /matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ frac {x ^ {10} -100} {\ ln x} \ mathrm {d} x = \ ln | 11 | \ tag * {} [/ matemáticas ]