¿Puedes calcular el rango de valores de c, para el cual 3x ^ 2 -9x + c es mayor que 2.25 para todos los valores de x?

Answer 1

Tenemos

[matemáticas] f (x) = 3x ^ 2-9x + c [/ matemáticas],

cual es:

• una parábola
• hacia arriba, ya que el coeficiente de orden inicial es positivo (el valor asociado con [matemática] x ^ 2 [/ matemática])
• tendrá un valor mínimo

Para garantizar que el punto más pequeño mapeado por [math] f (x) [/ math] sea mayor que [math] \ frac {9} {4} = 2.25 [/ math], necesitamos encontrar el mínimo de [math] f (x) [/ matemáticas]. Por cálculo, sabemos que los valores extremos (máximo, mínimo) de [matemática] f (x) [/ matemática] se encuentran donde su derivada es igual a cero. A saber, buscamos [matemáticas] x_0 [/ matemáticas] para que

[matemáticas] \ frac {df} {dx} = f ‘(x) = 6x-9 = 0 [/ matemáticas].

El valor correspondiente es [matemática] x_0 = \ frac {9} {6} = \ frac {3} {2} [/ matemática].

Ahora, con este resultado, simplemente resolvemos [math] c [/ math] en la siguiente ecuación:

[matemáticas] f (x_0) = 3x_0 ^ 2-9x_0 + c = 3 \ left (\ frac {3} {2} \ right) ^ 2-9 \ frac {3} {2} + c> \ frac {9 } {4} [/ matemáticas].

Resulta que

[matemáticas] c> \ frac {9} {4} – 3 \ frac {9} {4} +9 \ frac {3} {2} = \ frac {9} {4} (1-3 + 6) = 9 [/ matemáticas].