Deje [math] \ displaystyle I = \ int \ dfrac {1} {\ sqrt {1 + \ sin ^ 3 (x)}} \, dx \, \, \, \, ———- (1) [/ matemáticas]
Intenté mucho encontrar una solución en forma cerrada. Pero no pude hacerlo. Espero que haya una solución, solo que no pude encontrarla.
Entonces, haremos la expansión de Taylor de
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = \ dfrac {1} {\ sqrt {1 + \ sin ^ 3 (x)}} \, \, \, \, ———- (2) [/ matemáticas]
- Si [matemática] x ^ 2 + x -1 [/ matemática] es un factor de [matemática] x ^ 4 + px ^ 3 + qx ^ 2 – 1 [/ matemática], ¿cuáles son los valores de [matemática] p [/ math] y [math] q [/ math]?
- ¿Cómo resolverías para x si [matemáticas] x ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas]? Puede usar números complejos si lo desea.
- ¿Qué es un álgebra?
- ¿Qué es x si | 3x + 2 | = 4x + 5?
- ¿Es posible derivar funciones como f (x) = binomcdf (n, p, x)?
entonces lo integraremos. Como, la expansión de la serie Taylor de [math] f (x) [/ math] cerca de [math] x_0 \ in \ mathbb {R} [/ math] viene dada por,
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = f (x_0) + (x – x_0) f ^ {(1)} (x_0) + \ dfrac {(x – x_0) ^ 2} {2!} f ^ {( 2)} (x_0) + \ dfrac {(x – x_0) ^ 3} {3!} F ^ {(3)} (x_0) +… [/ matemática]
Donde [math] f ^ {(n)} (x_0) [/ math] es la enésima derivada de [math] f (x) [/ math] en [math] x_0 [/ math]
Entonces, la expansión de la serie Taylor de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] cerca de [matemáticas] 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = f (0) + xf ^ {(1)} (0) + \ dfrac {x ^ 2} {2!} f ^ {(2)} (0) + \ dfrac {x ^ 3} {3!} f ^ {(3)} (0) +… \, \, \, \, ———- (3) [/ matemáticas]
Antes de encontrar las derivadas, simplificaremos [math] \ sin ^ 3 (x) [/ math]
Entonces, [matemáticas] \ displaystyle \ sin ^ 3 (x) = \ sin ^ 2 (x) \ sin (x) [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ dfrac {2 \ sin ^ 2 (x) \ sin (x)} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle = \ dfrac {(2 \ sin ^ 2 (x) – 1 + 1) \ sin (x)} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle = \ dfrac {(1 – \ cos (2x)) \ sin (x)} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle = \ dfrac {\ sin (x)} {2} – \ dfrac {\ cos (2x) \ sin (x)} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle = \ dfrac {\ sin (x)} {2} – \ dfrac {2 \ cos (2x) \ sin (x)} {4} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle = \ dfrac {\ sin (x)} {2} – \ dfrac {\ sin (x – 2x) + \ sin (2x + x)} {4} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle = \ dfrac {\ sin (x)} {2} – \ dfrac {- \ sin (x) + \ sin (3x)} {4} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle = \ dfrac {3 \ sin (x)} {4} – \ dfrac {\ sin (3x)} {4} \, \, \, \, ———- (4) [/ matemáticas ]
Como, [math] \ displaystyle f (x) = \ dfrac {1} {\ sqrt {1 + \ sin ^ 3 (x)}} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ dfrac {1} {f ^ 2 (x)} = 1 + \ dfrac {3 \ sin (x)} {4} – \ dfrac {\ sin (3x)} {4} \ , \, \, \, ———- (5) [/ math]
Ahora, diferenciemos [matemáticas] (5) [/ matemáticas] wrt [matemáticas] x [/ matemáticas], obtenemos,
[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {-2!} {f ^ 3 (x)} f ^ {(1)} (x) = \ dfrac {3 \ cos (x)} {4} – \ dfrac {3 \ cos (3x)} {4} \, \, \, \, ———- (6) [/ math]
Ahora, diferenciemos [matemáticas] (6) [/ matemáticas] wrt [matemáticas] x [/ matemáticas], obtenemos,
[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {3!} {f ^ 4 (x)} f ^ {(2)} (x) = – \ dfrac {3 \ sin (x)} {4} + \ dfrac {3 ^ 2 \ sin (3x)} {4} \, \, \, \, ———- (7) [/ math]
Continuo…
[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {-4!} {f ^ 5 (x)} f ^ {(3)} (x) = – \ dfrac {3 \ cos (x)} {4} + \ dfrac {3 ^ 3 \ cos (3x)} {4} \, \, \, \, ———- (8) [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {5!} {f ^ 6 (x)} f ^ {(4)} (x) = \ dfrac {3 \ sin (x)} {4} – \ dfrac {3 ^ 4 \ sin (3x)} {4} \, \, \, \, ———- (9) [/ math]
Ahora, [matemáticas] \ displaystyle f (0) = \ dfrac {1} {\ sqrt {1 + \ sin ^ 3 (0)}} = 1 \, \, \, \, ———- (10) [ /matemáticas]
Entonces, en [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas], ecuación [matemáticas] (6) [/ matemáticas], [matemáticas] (7) [/ matemáticas], [matemáticas] (8) [/ matemáticas], [matemáticas ] (9) [/ matemáticas] da
[matemáticas] \ displaystyle -2! f ^ {(1)} (0) = \ dfrac {3} {4} – \ dfrac {3} {4} = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica f ^ {(1)} (0) = 0 \, \, \, \, ———- (11) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle f ^ {(2)} (0) = 0 \, \, \, \, ———- (12) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle -4! f ^ {(3)} (0) = – \ dfrac {3} {4} + \ dfrac {3 ^ 3} {4} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica f ^ {(3)} (0) = \ dfrac {3} {4 \ times 4!} – \ dfrac {3 ^ 3} {4 \ times 4!} \, \, \ , \, ———- (13) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle f ^ {(4)} (0) = 0 \, \, \, \, ———- (14) [/ matemáticas]
Similar,
[matemáticas] \ displaystyle \ implica f ^ {(5)} (0) = \ dfrac {3} {4 \ times 6!} – \ dfrac {3 ^ 5} {4 \ times 6!} \, \, \ , \, ———- (15) [/ matemáticas]
Entonces, la expansión de la serie Taylor de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] cerca de [matemáticas] 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = 1 + \ dfrac {3} {(4!) ^ 2} x ^ 3 – \ dfrac {3 ^ 3} {(4!) ^ 2} x ^ 3 + \ dfrac {3} {4 (5!) (6!)} X ^ 5 – \ dfrac {3 ^ 5} {4 (5!) (6!)} X ^ 5 + \ dfrac {3} {4 (7! ) (8!)} X ^ 7 – \ dfrac {3 ^ 7} {4 (7!) (8!)} X ^ 7 +… [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica f (x) = 1 + \ dfrac {3} {4} (\ dfrac {1} {(3!) (4!)} x ^ 3 + \ dfrac {1} {(5 !) (6!)} X ^ 5 + \ dfrac {1} {(7!) (8!)} X ^ 7 +…) – \ dfrac {1} {4} (\ dfrac {3 ^ 3} { (3!) (4!)} X ^ 3 – \ dfrac {3 ^ 5} {(5!) (6!)} X ^ 5 – \ dfrac {3 ^ 7} {(7!) (8!) } x ^ 7 -…) \, \, \, \, ———- (16) [/ matemáticas]
Entonces, [math] \ displaystyle I = \ int f (x) \, dx [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ bbox [#AFA] {I = x + \ dfrac {3} {4} (\ dfrac {1} {(4!) ^ 2} x ^ 4 + \ dfrac {1} { (6!) ^ 2} x ^ 6 + \ dfrac {1} {(8!) ^ 2} x ^ 8 +…) – \ dfrac {1} {4} (\ dfrac {3 ^ 3} {(4 !) ^ 2} x ^ 4 – \ dfrac {3 ^ 5} {(6!) ^ 2} x ^ 6 – \ dfrac {3 ^ 7} {(8!) ^ 2} x ^ 8 -…) + C} [/ matemáticas]
