¿Cómo resolverías para x si [matemáticas] x ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas]? Puede usar números complejos si lo desea.

Answer 1

Los números complejos son muy útiles para resolver ecuaciones que no tienen soluciones reales. Necesitamos la siguiente información de fondo:

• Cada número complejo [matemáticas] x [/ matemáticas] se puede escribir en la forma [matemáticas] x = a + bi [/ matemáticas], donde [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] son ​​reales números y [matemáticas] i [/ matemáticas] es la unidad imaginaria con la propiedad de que [matemáticas] i ^ 2 = -1 [/ matemáticas]. [matemáticas] a [/ matemáticas] se llama la parte real de [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] se llama su parte imaginaria .
• Dos números complejos son iguales si y solo si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales.
• Las reglas habituales de álgebra (asociatividad, conmutatividad y, fundamentalmente, la propiedad distributiva) se aplican también a los números complejos.
• El teorema fundamental del cálculo : cada polinomio de grado [matemáticas] n [/ matemáticas] tiene soluciones [matemáticas] n [/ matemáticas] en los números complejos (incluida la multiplicidad).

Lo que esto significa es que, en lugar de tratar de resolver una ecuación que puede no tener soluciones reales, podemos hacer algo quizás más fácil: escribir las variables como números complejos, simplificar, luego comparar partes reales y partes imaginarias para obtener dos ecuaciones en números reales que están garantizados para tener una solución. Como ejemplo, resolvamos la ecuación que diste:

[matemáticas] x ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas]

Primero, escribimos [math] x = a + bi [/ math]:

[matemáticas] (a + bi) ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas]

A continuación, simplificamos:

[matemáticas] a (a + bi) + bi (a + bi) +1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 + abi + abi + b ^ 2 i ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas]

Recuerde que [matemáticas] i ^ 2 = -1 [/ matemáticas]:

[matemáticas] a ^ 2 + 2abi -b ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas]

Tome la parte real en ambos lados (cada término que no contiene [matemáticas] i [/ matemáticas]):

[matemáticas] a ^ 2 – b ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas]

Ahora tome las partes imaginarias (cada término que contiene [matemáticas] i [/ matemáticas]):

[matemáticas] 2abi = 0 [/ matemáticas]

Esta última ecuación nos dice que [matemáticas] a = 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] b = 0 [/ matemáticas]. Pero establecer [math] b = 0 [/ math] en la ecuación para las partes reales nos daría [math] a ^ 2 + 1 = 0 [/ math], que no tiene una solución (real).

Por lo tanto, [math] a = 0 [/ math], y el reemplazo anterior nos da [math] -b ^ 2 + 1 = 0 [/ math] o [math] b ^ 2 = 1 [/ math], que tiene dos soluciones : [matemáticas] b = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] b = -1 [/ matemáticas]. Entonces, nuestras soluciones [matemáticas] x [/ matemáticas] tienen una parte real [matemáticas] 0 [/ matemáticas] y una parte imaginaria [matemáticas] 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] -1 [/ matemáticas]. Las dos soluciones son

[matemáticas] x = i [/ matemáticas],

[matemáticas] x = -i [/ matemáticas].

Answer 2

Aislar x.

[matemáticas] x ^ 2 = -1 [/ matemáticas]

Raíz cuadrada a ambos lados.

[matemáticas] x = \ pm i [/ matemáticas] (más o menos i)

Answer 3

[matemáticas] x ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ pm \ sqrt {-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ pm i [/ matemáticas]

Answer 4

El número [matemáticas] i [/ matemáticas] se define literalmente como la solución a esta ecuación.

Answer 5

Tomando 1 al otro lado, obtenemos x ^ 2 = -1.

Tomando raíz en ambos lados, obtenemos x = + √-1 o x = -√-1 ya que una raíz cuadrada tiene dos raíces. En números complejos, √-1 generalmente se denota como i.

Entonces la solución a x ^ 2 + 1 = 0 es x = + i o x = -i.

Answer 6

x ^ 2 + 1 = 0

x ^ 2 = -1

cuadrado a ambos lados

x = raíz cuadrada de -1

x = i

Answer 7

[matemáticas] x ^ 2 + 1 = (x-x_1) (x-x_2) [/ matemáticas]

Con los polinomios en general tenemos la mayor potencia de x igual al número de raíces. Y las raíces imaginarias ocurren en pares conjugados, ahora. A mi entender, la pista de números complejos puede ser hipócrita, por lo tanto.

[matemáticas] x_ {1,2} = \ pm \ sqrt {-1} = \ pm i [/ matemáticas]

Answer 8

La unidad compleja [matemática] i [/ matemática] se define de manera tal que [matemática] i ^ 2 = -1 [/ matemática]. El resto sigue trivialmente.

Answer 9

Como cualquier otro problema de álgebra.

Resta 1 de cada lado.

Raíz cuadrada a cada lado.

Reescribe tu raíz cuadrada de -1 a una i.

Hecho.

Answer 10

X2 = -1

SO X – + OR – i