La suma de todos los cuadrados puede parecer infinita.
No es.
Para obtener un resultado finito, uno tendría que sumar todos los cuadrados. Hay una cantidad infinita de números cuadrados; tomaría una eternidad.
Sí, tomaría una eternidad, pero tendrías que pasar para siempre. No puedes simplemente sumar los primeros cuadrados de Graham’s Number y obtener un resultado finito. Tendrías que ir * hasta el final (de la eternidad) * , aunque no haya final .
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¿Y qué sucede cuando llegas al final, aunque no haya final?
Bueno, obtendrías un resultado finito.
Gracias al poder absolutamente sorprendente de las matemáticas, podemos encontrar ese resultado finito exacto.
En el pasado, el conocimiento de las matemáticas se estaba disparando. Un matemático muy famoso de apellido Riemann trabajó en la función Riemann Zeta.
Lo que sigue es la función Riemann Zeta:
[matemáticas] \ displaystyle \ zeta (s) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ s} = \ frac {1} {1 ^ s} + \ frac {1} {2 ^ s} + \ frac {1} {3 ^ s} + \ cdots [/ math]
Antes de que apareciera Riemann, la función solo se definía para números positivos mayores que [math] 1 [/ math]. Quizás el mejor matemático, Leonard Euler, estudió la función y descubrió propiedades demasiado buenas para ser ciertas acerca de la función.
Un ejemplo es:
[matemáticas] \ displaystyle \ zeta (2) = \ frac {1} {1 ^ 2} + \ frac {1} {2 ^ 2} + \ frac {1} {3 ^ 2} + \ cdots = \ frac { \ pi ^ 2} {6} [/ matemáticas]
Lo que Riemann estaba haciendo era definir la función para todos los números complejos (incluidos los negativos). Se hicieron matemáticas muy rigurosas para hacerlo. (Eso es demasiado difícil de explicar ahora).
Digamos, por ejemplo, que [matemáticas] s = -1 [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] \ displaystyle \ zeta (s) = \ frac {1} {1 ^ {- 1}} + \ frac {1} {2 ^ {- 1}} + \ frac {1} {3 ^ {- 1}} + \ cdots [/ math]
Y como [math] \ displaystyle x ^ {- 1} = \ frac {1} {x} [/ math], podemos simplificar la ecuación anterior para obtener:
[matemáticas] \ displaystyle1 + 2 + 3 + 4 + \ cdots [/ matemáticas]
La mayoría de los matemáticos saben que la suma de todos los números naturales (suma de todos los poderes de [matemática] 1 [/ matemática]) es una [matemática] \ displaystyle- \ frac {1} {12} [/ matemática] finita.
Como resultado de todo el increíble trabajo duro realizado por Riemann, ahora tenemos fórmulas de forma cerrada que dan el resultado exacto de los argumentos negativos para la función Riemann Zeta. Es por eso que sabemos que la suma de todos los números naturales es exactamente [matemática] \ displaystyle- \ frac {1} {12} [/ matemática].
Para argumentos negativos:
[matemáticas] \ displaystyle \ zeta (-s) = (- 1) ^ s \ frac {B_ {s + 1}} {s + 1} [/ matemáticas]
donde [math] \ displaystyle B_n [/ math] representa el [math] n [/ math] th número de Bernoulli.
Bueno, como preguntaste, ¿cuál es la suma de todos los cuadrados? Tendríamos que aplicar [matemáticas] -2 [/ matemáticas] a la función zeta de Riemann. Esto se debe a que [math] \ displaystyle \ frac {1} {n ^ {- 2}} = n ^ 2 [/ math].
[matemáticas] \ displaystyle \ zeta (-2) = (- 1) ^ 2 \ frac {B_ {3}} {3} = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 4 ^ 2 + \ cdots = 0 [/matemáticas]
El tercer número de Bernoulli es [math] 0 [/ math], por lo que la expresión completa es igual a [math] 0 [/ math].
La suma de todos los cuadrados es [matemática] 0 [/ matemática].
Auge.