Esta es una pregunta un poco confusa porque hay dos cosas diferentes que podemos decir con “un álgebra” y no está claro en cuál estás pensando.
Está el álgebra sobre un anillo del que habló Jaimal Ichharam, del que lamentablemente no sé mucho.
También hay una idea más general de un álgebra como una generalización de estructuras algebraicas que se estudia en álgebra universal. Según su vaga descripción, parece que esto es lo que está preguntando, lo cual es útil porque realmente puedo hablar de ellos :). (Vienen en CS).
Básicamente, un álgebra es solo una estructura algebraica . Es un conjunto [matemático] A [/ matemático] junto con cierto número de funciones cerradas sobre el conjunto. Es una generalización sobre las estructuras que normalmente estudiamos: un grupo es un álgebra, un anillo es un álgebra, una red es un álgebra … etc.
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Las álgebras tienen diferentes “firmas” que especifican las funciones que tiene. Por ejemplo, un grupo es un álgebra que tiene un elemento de identidad, una función de un argumento y una función de dos argumentos. Es decir, un grupo con un conjunto de operadores [matemática] A [/ matemática] es solo una tupla:
[matemáticas] \ langle A, 0: A, -: A \ to A, +: A \ times A \ to A \ rangle [/ math]
Para lograr uniformidad, podemos escribir todo esto como funciones en la forma [math] A ^ n \ to A [/ math], donde [math] n [/ math] es la “aridad” de una función: el número de argumentos Tiene. El elemento de identidad es una función [matemática] A ^ 0 \ a A [/ matemática], que solo identifica un único elemento de [matemática] A [/ matemática]. Por lo tanto, podemos hablar de la firma de un álgebra como las aridades de sus funciones. Un grupo sería (0, 1, 2) mientras que un anillo sería (0, 0, 1, 2, 2).
En general, las funciones de un álgebra tienen que ser asociativas. A veces, también observamos otras leyes, por ejemplo, podríamos querer estudiar álgebras con operaciones conmutativas como los grupos abelianos.
Entonces, la intuición para un álgebra en general es que es cualquier estructura como un grupo, un anillo o cualquier otra cosa que nos guste. Como el nombre “estructura” implica, estas operaciones adicionales en un conjunto exponen la estructura interna de sus elementos: un grupo describe simetrías, una red describe un orden parcial y así sucesivamente. El estudio de álgebras, entonces, puede considerarse como el estudio de “conjuntos estructurados” en general.
Observar todas las álgebras posibles nos permite concentrarnos en cosas que se aplican de manera más global. Por ejemplo, si estudiamos campos, la mayoría de las conclusiones interesantes dependen de las operaciones particulares que proporcionan los campos (ya que estas son bastante ricas) y no se pueden aplicar a otras estructuras como grupos o redes. Por otro lado, cualquier resultado sobre álgebras se aplicará igualmente bien a todos estos y a más cosas además, ¡incluso estructuras que aún no hemos pensado!
Por ejemplo, podemos hablar sobre la estructura de subálgebras de cualquier álgebra . Resulta que forman una red. La intersección de dos subálgebras es siempre otra subálgebra (intente verificar esto). Sin embargo, la unión de dos subálgebras no siempre es un subálgebra. Afortunadamente, dados dos subálgebras [matemática] X [/ matemática] y [matemática] Y [/ matemática], podemos construir un único “límite superior mínimo” para ellos tomando la intersección de todas las subálgebras que contienen [ matemáticas] X \ copa Y [/ matemáticas].
No creo haber explicado eso muy bien, pero espero que te dé una idea de qué tipo de cosas podemos razonar cuando pensamos en todas las estructuras algebraicas posibles en lugar de enfocarnos solo en grupos o simplemente en anillos o lo que sea. La mejor fuente que pude encontrar en línea sobre la red de subálgebras es la Enciclopedia de Matemáticas, pero, sinceramente, es demasiado denso para ser útil: /.
En última instancia, el punto real es que un álgebra es una abstracción sobre diferentes estructuras algebraicas.
De hecho, podemos llevar esta idea un poco más lejos. Si no le importa un sesgo significativo hacia CS y Haskell, puede leer mi explicación de álgebras y co-álgebras en StackOverflow. Creo que es bastante más claro que lo que escribí aquí, pero responde una pregunta ligeramente diferente.