[matemáticas] [/ matemáticas] Sea [matemáticas] f (x) = x \ sin {\ frac {\ pi} {x-3}} [/ matemáticas] ¿cómo puedo probar que [matemáticas] \ lim_ {x \ to3 } f (x) [/ math] no existe?

Answer 1

A2A, gracias.

Vamos a introducir una nueva variable,

[matemáticas] y = {\ pi \ over x-3} [/ matemáticas].

Entonces tenemos [math] x = 3 + \ pi / y [/ math] y podemos reescribir nuestra función como

[math] g (y) = f (x) = (3 + \ pi / y) \ sin (y) [/ math], que necesitamos explorar como [math] y \ rightarrow \ infty [/ math].

Bueno, cuando dejamos [math] y \ rightarrow \ infty [/ math], vemos lo siguiente:

• la cantidad [matemática] (3 + \ pi / a) [/ matemática] tiende a 3.
• la cantidad [math] \ sin (y) [/ math] no tiene límite. Para ver eso, exhibe dos secuencias en el eje y que aumentan sin límite, y muestra que la función seno tendrá límites diferentes para estas dos secuencias. Un ejemplo de dos de estas secuencias es:
• [matemáticas] y_ {n} = 2 \ pi n, n = 0, 1, 2, 3, \ ldots [/ matemáticas], y
• [matemáticas] y ‘_ {n} = 2 \ pi n + {\ pi \ over 2}, n = 0, 1, 2, 3, \ ldots [/ math].

Claramente,

[matemáticas] \ lim_ {n \ rightarrow + \ infty} \ sin (y_ {n}) = 0 [/ matemáticas], mientras

[matemáticas] \ lim_ {n \ rightarrow + \ infty} \ sin (y ‘_ {n}) = 1. [/ matemáticas]

Answer 2

Prueba:

Suponga que f (x) = g (x) × h (I (x))

Donde g (x) = x. & h (x) = sin (x) & I (x) = (pi) / (x-3)

Lim (x, 3, f (x)) = Lim (x, 3, g (x)) × Lim (x, 3, h (I (x)))

El Lim (x, 3, g (x)) = 3. Como es simplemente x

El Lim (x, 3, I (x)) = Infinito. como el denominador va a cero.

Finalmente el Lim (x, 3, h (I (x))) = Sin (Infinito)

Entonces el Lim (x, 3, f (x)) = 3 × Sin (Infinito)

La función Sin está limitada (-1 a 1), sin embargo, en el infinito no podemos conocer el valor exacto de Sin. Solo podemos decir que: -1

En las primeras matemáticas es generalmente aceptable afirmar que el límite no está definido, ya que no podemos conocer un valor exacto.

En matemática probabilística y estadística, podría afirmar que el límite está entre -3 y 3. Luego, crearía un modelo razonable de la probabilidad de que el límite pueda ser ciertos valores dentro del rango.

Espero que esto ayude.

Answer 3

Demasiado aburrido para darle pruebas rigurosas [matemáticas] \ epsilon- \ delta [/ matemáticas]. Pero la idea es la misma que para la función sin [matemática] (1 / x) [/ matemática] cuando [matemática] x [/ matemática] se aproxima a cero. Hay infinitas oscilaciones de amplitud constante en una vecindad de cero.

Answer 4

Puede reducir eso al límite de pi / (x-3) a medida que x se acerca a 3 e ir desde allí.