La homología singular es buena en teoría. La homología simple es buena en la práctica.
Los grupos de homología singular son la homología del complejo de cadenas singulares. Los grupos en este complejo son, por decirlo suavemente, locos. Son los grupos abelianos libres generados por todos los simplices singulares, y generalmente hay innumerables de ellos. “Computar” directamente con esta definición está fuera de discusión.
Al mismo tiempo, la definición es limpia y simple, y no exige nada del espacio que está estudiando. Cualquier espacio topológico [matemática] X [/ matemática] tiene grupos de homología singulares [matemática] H_n (X) [/ matemática], y el hecho de que son invariantes topológicos es completamente obvio.
La homología simple es casi el polo opuesto. Requiere mucha estructura adicional en el espacio estudiado: tiene que ser triangulado. No todos los espacios pueden ser triangulados, e incluso para los espacios que pueden serlo, no es obvio ni cierto que puedan ser triangulados de una manera única. La invariabilidad topológica de los grupos simpliciales es muy poco obvia.
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Sin embargo, dada toda esa estructura adicional, hacer cálculos es bastante sencillo. Todo es puramente combinatorio, y normalmente solo trabajas con conjuntos finitos de vértices, aristas, caras, etc.
En última instancia, desea comprender ambos y por qué son lo mismo. Con eso, puede cambiar entre ellos a voluntad: use una homología singular cuando desee razonar sobre las propiedades generales de los espacios generales, y una homología simplicial cuando quiera calcular o cuando los espacios proporcionados estén naturalmente disponibles para usted como objetos combinatorios. Por supuesto, otras teorías de homología y cohomología (de Rham, Čech, Borel-Moore) son tan útiles, o más, en otros contextos.