¿Cómo demuestro que [matemáticas] \ lim_ {x \ to \ frac {\ pi} {4}} {\ frac {8- \ sqrt {2} * (\ cos x + \ sin x) ^ 5} {1- \ sin {(2x)}}} = 10 [/ matemáticas]?

Answer 1

Definir [matemáticas] f (x) = \ frac {8- \ sqrt {2} (\ cos {x} + \ sin {x}) ^ 5} {1 – \ sin {(2x)}} [/ matemáticas] . Tenga en cuenta que [matemática] f (x) = \ frac {g (x)} {h (x)} [/ matemática], donde [matemática] g (x) = 8- \ sqrt {2} (\ cos {x } + \ sin {x}) ^ 5 [/ matemáticas] y [matemáticas] h (x) = 1 – \ sin {(2x)} [/ matemáticas]. Estamos buscando las [matemáticas] \ lim \ limits_ {x \ to \ frac {\ pi} {4}} {f (x)} = \ lim \ limits_ {x \ to \ frac {\ pi} {4} } {\ frac {g (x)} {h (x)}} [/ math].

Primero, tenga en cuenta que [math] g (\ frac {\ pi} {4}) = 0 [/ math] y [math] h (\ frac {\ pi} {4}) = 0 [/ math]. Dado que la sustitución en el valor directamente en [math] f (x) [/ math] produce una expresión de la forma [math] \ frac {0} {0} [/ math], este problema es un candidato ideal para la aplicación de L La regla del hospital.

Obtenemos [math] g ‘(x) = – 5 \ sqrt {2} (\ cos {x} – \ sin {x}) (\ cos {x} + \ sin {x}) ^ 4 [/ math] mediante el uso de la regla de la cadena. Entonces [matemáticas] g ‘(\ frac {\ pi} {4}) = 0 [/ matemáticas]. También obtenemos [math] h ‘(x) = – 2 \ cos {(2x)} [/ math]. Entonces [matemáticas] h ‘(\ frac {\ pi} {4}) = 0 [/ matemáticas]. Por lo tanto, evaluar [math] \ lim \ limits_ {x \ to \ frac {\ pi} {4}} {\ frac {g ‘(x)} {h’ (x)}} [/ math] sustituyendo en valor directamente produce una expresión de la forma [math] \ frac {0} {0} [/ math] también. Por lo tanto, debemos aplicar la regla de l’Hopital nuevamente.

Obtenemos [matemáticas] g ” (x) = 5 \ sqrt {2} (\ cos {x} + \ sin {x}) ^ 3 [(\ cos {x} + \ sin {x}) ^ 2– 4 (\ cos {x} – \ sin {x}) ^ 2] [/ math] utilizando la regla del Producto y factorizando la expresión resultante. Entonces [matemáticas] g ” (\ frac {\ pi} {4}) = 40 [/ matemáticas]. También obtenemos [matemáticas] h ” (x) = 4 \ sin {(2x)} [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] h ” (\ frac {\ pi} {4}) = 4 [/ matemáticas]. Por lo tanto, obtenemos que [matemáticas] \ lim \ limits_ {x \ to \ frac {\ pi} {4}} {\ frac {g ” (x)} {h ” (x)}} = \ frac { 40} {4} = 10 [/ matemáticas]. Debido a que aplicamos la Regla de l’Hopital dos veces, [matemáticas] \ lim \ limits_ {x \ to \ frac {\ pi} {4}} {\ frac {g ” (x)} {h ” (x)}} = \ lim \ limits_ {x \ to \ frac {\ pi} {4}} {\ frac {g ‘(x)} {h’ (x)}} = \ lim \ limits_ {x \ to \ frac {\ pi} {4}} {\ frac {g (x)} {h (x)}} = \ lim \ limits_ {x \ to \ frac {\ pi} {4}} {f (x)} = 10 [ / matemáticas] también.

Answer 2

Tenga en cuenta que

[matemática] \ sin \ big (y + \ frac {\ pi} {4} \ big) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ big (\ sin y + \ cos y \ big) [/ math] ,

[matemáticas] \ cos \ big (y + \ frac {\ pi} {4} \ big) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ big (\ cos y- \ sin y \ big) [/ math ],

[matemáticas] \ sin 2 \ big (y + \ frac {\ pi} {4} \ big) = \ cos 2y [/ math],

También tenga en cuenta que

[matemáticas] \ cos y = 1- \ frac {y ^ 2} {2} + \ text {potencias superiores de} \: y [/ matemáticas],

así que eso

[math] \ cos (2y) = 1–2y ^ 2 + \ text {poderes superiores de} \: y [/ math], y

[matemáticas] {\ cos} ^ 5 y = 1- \ frac {5} {2} y ^ 2 + \ text {potencias superiores de} \: y [/ matemáticas].

Por lo tanto

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ frac {\ pi} {4}} \ dfrac {8- \ sqrt {2} \ big (\ cos x + \ sin x \ big) ^ 5} {1- \ sin (2x)} = \ displaystyle \ lim_ {y \ a 0} \ dfrac {8- \ sqrt {2} (\ sqrt {2}) ^ 5 {\ cos} ^ 5 y} {1- \ cos (2y )} [/ math] sustituyendo [math] y = x- \ frac {\ pi} {4} [/ math]

[matemática] = 8 \ displaystyle \ lim_ {y \ a 0} \ dfrac {1 – {\ cos} ^ 5 y} {1- \ cos (2y)} [/ math]

[matemáticas] = 8 \ displaystyle \ lim_ {y \ a 0} \ dfrac {\ frac {5} {2} y ^ 2 + \ text {poderes superiores de} \: y} {2y ^ 2 + \ text {más alto poderes de} \: y} [/ math]

[matemáticas] = 10 [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 3

[matemáticas] \ large \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ frac {\ pi} {4}} \ frac {8 – \ sqrt {2} (\ cos x + \ sin x) ^ 5} {1 – \ sin 2x} [/ matemáticas]

Al aplicar el límite, obtenemos el formulario [math] \ large \ displaystyle \ frac {0} {0} [/ math]

Usando la regla de L’Hôpital,

[matemáticas] \ implica \ large \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ frac {\ pi} {4}} \ frac {- 5 \ sqrt {2} (\ cos x + \ sin x) ^ 4 (\ cos x – \ sen x)} {- 2 \ cos 2x} [/ math]

Nuevamente, al aplicar el límite, obtenemos el formulario [math] \ large \ displaystyle \ frac {0} {0} [/ math]

Usando la regla de L’Hôpital (nuevamente),

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ frac {\ pi} {4}} \ frac {5 \ sqrt {2} [(\ cos x + \ sin x) ^ 4 (- \ sin x – \ cos x) + (\ cos x – \ sin x) (\ cos x + \ sin x) ^ 3 (\ cos x – \ sin x)]} {- 4 \ sin 2x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ frac {\ pi} {4}} \ frac {5 \ sqrt {2} [- (\ cos x + \ sin x) ^ 5 + (\ cos x – \ sin x) ^ 2 (\ cos x + \ sin x) ^ 3]} {-4 \ sin 2x} [/ matemática]

Ahora aplique el límite, obtenemos,

[matemáticas] \ grande \ displaystyle \ frac {5 \ sqrt {2} [- (\ sqrt {2}) ^ 5 + 0]} {(- 4)} [/ matemáticas]

[math] = \ large \ displaystyle \ frac {5 \ sqrt {2} [4 \ sqrt {2}]} {4} [/ math]

[math] = \ large \ displaystyle 5 \ sqrt {2} (\ sqrt {2}) [/ math]

[math] = \ large \ displaystyle \ boxed {10} [/ math]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ large \ displaystyle \ boxed {\ boxed {\ lim_ {x \ to \ frac {\ pi} {4}} \ frac {8 – \ sqrt {2} (\ cos x + \ sin x) ^ 5 } {1 – \ sin 2x} = \ underbrace {\ boxed {10}} _ {\ blacksquare}}} [/ math]

[matemática] {\ enorme {\ enorme {\ displaystyle \ ddot \ smile}}} [/ matemática]