Deje que [math] x \ in \ mathbb {R} \ setminus \ {\ frac {\ pi} {2} + p \ pi / p \ in \ mathbb {Z} \} [/ math]
Primero [matemáticas] \ arctan (- \ tan (x)) = \ arctan (\ tan (-x)) [/ math]
Existe [math] k \ in \ mathbb {Z} [/ math] como [math] x \ in \ left) – \ frac {\ pi} {2} + k \ pi, \ frac {\ pi} { 2} + k \ pi \ right ([/ matemáticas]
entonces [math] -x \ in \ left) – \ frac {\ pi} {2} -k \ pi, \ frac {\ pi} {2} -k \ pi \ right ([/ math]
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Tenemos [matemáticas] \ tan (-x) = \ tan (-x + k \ pi) [/ matemáticas]
Y [math] -x + k \ pi \ in \ left) – \ frac {\ pi} {2}, \ frac {\ pi} {2} \ right ([/ math]
entonces [matemática] \ arctan (\ tan (-x)) = \ arctan (\ tan (-x + k \ pi)) [/ math]
[matemáticas] = – x + k \ pi [/ matemáticas]
Sin embargo, [matemáticas] – \ frac {\ pi} {2} + k \ pi <x <\ frac {\ pi} {2} + k \ pi \ Leftrightarrow \ left (\ frac {x} {\ pi} + \ frac {1} {2} \ right) -1 <k <\ frac {x} {\ pi} + \ frac {1} {2} [/ math]
Así [matemáticas] k = \ lfloor \ frac {x} {\ pi} + \ frac {1} {2} \ rfloor [/ math]
Y [matemáticas] \ arctan (- \ tan (x)) = – x + \ lfloor \ frac {x} {\ pi} + \ frac {1} {2} \ rfloor \ pi [/ math]
o [matemáticas] \ arctan (- \ tan (x)) = \ left (- \ frac {x} {\ pi} – \ frac {1} {2} + \ lfloor \ frac {x} {\ pi} + \ frac {1} {2} \ rfloor + \ frac {1} {2} \ right) \ pi [/ math]
[matemáticas] = \ left (- \ left \ {\ frac {x} {\ pi} + \ frac {1} {2} \ right \} + \ frac {1} {2} \ right) \ pi [/ matemáticas]