¿Qué es 3.5? (factorial de tres puntos cinco)?

Answer 1

Si bien la función factorial se define solo para enteros, y la respuesta estricta sería: no tiene valor, si me mantuviera a punta de pistola y exigiera un valor, obtendría [matemáticas] \ frac {3 \ cdot 5 \ cdot 7 } {16} \ cdot \ sqrt {\ pi} = \ frac {105} {16} \ cdot \ sqrt {\ pi} [/ math].

Hasta donde yo sé, lo más cercano que puede llegar a un factorial para los no enteros es la Función Gamma [matemática] \ Gamma (z) [/ matemática]. Eso es por dos razones:

1. Para enteros, [matemáticas] \ Gamma (n) = (n-1)! [/ Matemáticas]
2. Para todas las [matemáticas] z [/ matemáticas], [matemáticas] \ Gamma (z + 1) = z \ cdot \ Gamma (z) [/ matemáticas] válidas

Entonces se comporta como un factorial.

Su ejemplo, [math] \ frac {7} {2}! [/ Math] sería algo como:

[matemáticas] \ Gamma (\ frac {9} {2}) = \ frac {7} {2} \ cdot \ Gamma (\ frac {7} {2}) = \ frac {7} {2} \ cdot \ frac {5} {2} \ cdot \ Gamma (\ frac {5} {2}) = \ frac {7} {2} \ cdot \ frac {5} {2} \ cdot \ frac {3} {2} \ cdot \ Gamma (\ frac {3} {2}) = \ frac {7} {2} \ cdot \ frac {5} {2} \ cdot \ frac {3} {2} \ cdot \ frac {1} {2} \ cdot \ Gamma (\ frac {1} {2}) [/ math]

El valor de [math] \ Gamma (0.5) [/ math] es bien conocido, es [math] \ sqrt {\ pi} [/ math], de ahí la respuesta.

Answer 2

Comenzamos con la siguiente ecuación: [matemáticas] n! = n * (n-1)! [/ math] Por ejemplo, [math] 4! = 4 * 3! → 24 = 4 * 6 [/ matemáticas].

Agreguemos: [matemáticas] \ Gamma (n) = (n-1)! [/ Matemáticas] La función Gamma se utilizó para representar la fórmula anteriormente.

Finalmente, [matemáticas] \ Gamma (0.5) = \ sqrt {π} [/ matemáticas]

Ahora podemos usar lo que tenemos que resolver. [matemáticas] 3.5! = 3.5 * 2.5! [/ Matemáticas]… [matemáticas] 2.5! = 2.5 * 1.5! [/ Matemáticas] entonces [matemáticas] 3.5! = 3.5 * 2.5 * 1.5! [/ Matemáticas]… [matemáticas] 3.5! = 3.5 * 2.5 * 1.5 * 0.5! [/ Math] Podemos continuar usando la función gamma. Sabemos que la función gamma de [math] n [/ math] es [math] (n-1)! [/ Math], por lo que podemos seguir la ecuación con la función gamma, en lugar de usar un factorial negativo.

[matemáticas] 3.5! = 3.5 * 2.5 * 1.5 * 0.5 * \ Gamma (0.5) [/ math] También podemos reemplazar la función gamma de 0.5 con la raíz cuadrada de π:

[matemáticas] 3.5! = 3.5 * 2.5 * 1.5 * 0.5 * \ sqrt {π} [/ math] También podríamos reemplazar estos números con fracciones si lo hacemos a mano:

[matemáticas] 3.5! = (7 ÷ 2) (5 ÷ 2) (3 ÷ 2) (1 ÷ 2) (\ sqrt {π}) [/ math] y luego … [math] 3.5! = (105 ÷ 16) (\ sqrt {π}) [/ math]

[matemáticas] 3.5! = (6.5625) (\ sqrt {π}) [/ math] Multiplicamos los dos números y obtenemos …

[matemáticas] 3.5! = 11.6317284… [/ matemáticas] (usó la calculadora para multiplicar los dos números) ¡Increíble! Tiene sentido porque 3! es 6, 4! es 24 y 3.5! está en el medio (no necesita ser el promedio entre esos dos números).

Verifique la Calculadora, excepto que no verifique la Calculadora que dice que no es un número solo porque los desarrolladores son demasiado vagos para agregarlo.

Answer 3

Como otros han dicho, la función factorial se define solo para enteros positivos. Sin embargo, la función Gamma: Wikipedia a menudo se considera la extensión de factorial a un dominio más amplio, ya que tiene la propiedad muy deseable de ser holomórfica en su dominio y para cada número entero [matemáticas] n \ geq 0 [/ matemáticas], [matemáticas] \ Gamma (n + 1) = n! [/ Matemáticas]. Además, tiene la propiedad de que para cualquier [matemática] x [/ matemática] real en su dominio, [matemática] \ Gamma (x + 1) = x \ Gamma (x) [/ matemática]. Esta propiedad se parece mucho a la definición del factorial habitual.

Por otro lado, es un hecho conocido que [math] \ Gamma (\ frac {1} {2}) = \ sqrt {\ pi} [/ math]. Usando las propiedades descritas anteriormente, podemos decir que [math] (3.5)! = \ Gamma (4.5) = (3.5) (2.5) (1.5) (0.5) \ Gamma (0.5) = \ frac {105 \ sqrt {\ pi}} {16} [/ matemáticas].

Answer 4

De hecho, no es obvio generalizar el concepto de un producto a “tres factores y medio”. Pero hay una fórmula para el factorial que se generaliza a los no enteros.

Considerar

[matemáticas] I_n: = \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty x ^ ne ^ {- x} dx [/ matemáticas].

Integrando por partes,

[matemáticas] \ displaystyle \ int x ^ ne ^ {- x} dx = – \ left.x ^ ne ^ {- x} \ right | _0 ^ \ infty + n \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty x ^ {n- 1} e ^ {- x} dx = nI_ {n-1} [/ math].

Como [math] I_0 = 1 [/ math], de hecho tenemos [math] I_n = n! [/ Math].

Ahora la integral también converge para exponentes no enteros, y usted puede definir

[math] 3.5! = \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty x ^ {3.5} e ^ {- x} dx [/ math].

Por la fórmula anterior,

[matemáticas] 3.5! = 3.5 \ cdot2.5 \ cdot1.5 \ cdot0.5 \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty x ^ {- 0.5} e ^ {- x} dx [/ math]

y al establecer [matemáticas] x = t ^ 2 [/ matemáticas], llegamos a una integral gaussiana

[matemáticas] \ dfrac {105} {16} \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty x ^ {- 0.5} e ^ {- x} dx = \ dfrac {105} {16} 2 \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty e ^ {-t ^ 2} dt [/ matemáticas]

que puede ser igual a [math] \ dfrac {105 \ sqrt \ pi} {16} [/ math].

Answer 5

Bueno, técnicamente el factorial solo se define para números enteros positivos. Sin embargo, hay una función llamada función gamma que extiende la idea del factorial a números no integrales. [math] \ Gamma (x + 1) = x! [/ math] así que para obtener el “factorial” de 3.5 usamos [math] \ Gamma (4.5) \ aprox 11.6317 [/ math].

Answer 6

Factorial es un caso especial (solo enteros no negativos)

de la función gamma (continua excepto negativa)

enteros). 3.5 Factorial sería Gamma 4.5. En APL,

Gamma N se expresaría como! N + 1.

Answer 7

Aunque la función factorial solo se define para enteros, existe una extensión, la función gamma, [math] \ Gamma (x) [/ math].

La función gamma está relacionada con el factorial cuando [math] x [/ math] es un entero no negativo por:

[matemáticas] x! = \ Gamma (x + 1). [/ matemáticas]

Por lo tanto, si desea calcular el ‘factorial’ de [math] 3.5 [/ math], lo normal es calcular [math] \ Gamma (4.5) = 11.6317 … [/ math].

Ver función Gamma – Wikipedia

Answer 8

3.5 factorial no está definido.

Factorial se define solo para números enteros.

[matemáticas] 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2 \ por 1 = 2, 3! = 3 \ veces 2 \ veces 1 = 6 [/ matemáticas]

[matemáticas] 4! = 4 \ veces 3 \ veces 2 \ veces 1 = 24 [/ matemáticas]

[matemáticas] 5! = 5 \ veces 4 \ veces 3 \ veces 2 \ veces 1 = 120…. [/ Matemáticas]

Answer 9

Factorial se define solo para enteros. Es el producto de un entero y todos los enteros debajo de él; por ejemplo, factorial cuatro ( 4! ) es igual a 24.
Espero que responda tu pregunta.

Answer 10

! Se define solo para números enteros

Answer 11

Factorial es solo para algunos números, no puede haber eventos parciales sucediendo …