¿Puede una función en una variable no aleatoria producir una variable aleatoria? ¿Puede tener una función que tome x y produzca una distribución normal estándar alrededor de x, es decir, f (x) = x + n donde n ~ N (0,1)?

Answer 1

si

Sin el formalismo exacto, puede parecer muy misterioso.

Agreguemos un poco de información sobre cómo todavía podemos llamar a [math] f [/ math] una función a pesar de que aparentemente puede tomar múltiples valores para la misma entrada, apelamos a la definición formal de una variable aleatoria:

De wikipedia

Una variable aleatoria [matemática] X: Ω → E [/ matemática] es una función medible desde un conjunto de resultados posibles [matemática] Ω [/ matemática] a un espacio medible [matemática] E [/ matemática].

Entonces, una variable aleatoria en sí misma no es más que una función en cantidades no aleatorias. Por lo tanto, no debería sorprendernos que podamos producir uno como salida de una función en una cantidad no aleatoria.

Para resumir, cuando escribimos [matemáticas] Z [/ matemáticas] de modo que [matemáticas] Z [/ matemáticas] ~ [matemáticas] N (0,1), [/ matemáticas] lo que estamos omitiendo es escribir [matemática] Z [/ matemática] en función de su entrada desde el espacio de probabilidad correspondiente.

Si fuéramos precisos, estaríamos escribiendo [matemáticas] Z [/ matemáticas] como [matemáticas] Z (\ omega) [/ matemáticas].

Ahora, volviendo al ejemplo que dio: [matemática] f (x) = x + n [/ matemática]

Formalmente, se vería así: [matemáticas] f (x, \ omega) = x + n (\ omega) [/ matemáticas]

Y ahora lo vemos como una función simple de 2 variables.

Answer 2

En cierto sentido, todas las variables aleatorias son solo funciones en algún espacio de eventos. Y siempre que tenga una distribución uniforme en [0; 1] puede hacer cualquier distribución continua que desee aplicando una función de distribución inversa. Sin embargo, si desea hacer una variable aleatoria de “sentido común”, necesita alguna fuente externa de entropía. De lo contrario, obtendrá los llamados valores pseudoaleatorios. Y fíjate, no los uses en criptografía.