¿Sen x + 1 / sin x es igual a 10 ^ -x + 10 ^ x?

No Usualmente. Cuando es cierto para [math] x \ in \ R [/ math], queremos [math] \ sin (x)> 0 [/ math]. [math] \ sin (x) = 0 [/ math] deja una expresión indefinida (esto incluye el caso donde [math] x = 0 [/ math]), y [math] \ sin (x) <0 [/ math ] requiere [matemática] 10 ^ x <0 [/ matemática], que no tiene soluciones reales.

[matemática] \ sin (x) = 1 [/ matemática] no funciona (necesitaríamos [matemática] 10 ^ x = 1 [/ matemática], que no podemos tener al mismo tiempo), entonces puede identificar el mayor de [math] 10 ^ x ~ \, 10 ^ {- x} [/ math] como igual a [math] \ frac {1} {\ sin (x)} [/ math]; y el más pequeño es, por supuesto, igual a [math] \ sin (x) [/ math].

[matemática] x> 0 [/ matemática]: [matemática] 10 ^ {- x} = \ sin (x) [/ matemática]

Esto tiene muchas soluciones; uno en el primero y uno en el segundo cuadrante de cada período de [matemáticas] x [/ matemáticas]. A medida que [math] x [/ math] se hace más grande, estos enfoques se multiplican por [math] 2 \ pi [/ math] desde arriba en los primeros cuadrantes, y los múltiplos impares de [math] \ pi [/ math] desde abajo segundos cuadrantes

[matemática] x <0 [/ matemática]: [matemática] 10 ^ x = \ sin (x) [/ matemática]

Esto es generalmente similar, pero difiere en detalles. La descripción anterior de dónde se encuentran las soluciones con [matemáticas] x> 0 [/ matemáticas] sigue siendo correcta para [matemáticas] x <0 [/ matemáticas], aunque no hay simetrías simples.

En solo un poco más de detalle:

[matemática] x> 0 [/ matemática]: [matemática] 10 ^ {- x} = \ sin (x) [/ matemática]

[matemática] 10 ^ {- x} [/ matemática] tiene pendiente negativa para todo este rango positivo. [math] \ sin (x) [/ math] tiene una pendiente positiva en el primer cuadrante en cada período, y cumple con la curva exponencial descendente de forma clara y exactamente en un punto. De manera similar para [matemáticas] x <0 [/ matemáticas] con la curva exponencial ascendente.

[math] \ sin (x) [/ math] tiene pendiente negativa en el segundo cuadrante, por lo que para [math] x> 0 [/ math] tenemos que tener un poco más de cuidado con las posibles reuniones. Sin embargo, [math] – \ log_e (10) 10 ^ {- x} + \ cos (x) [/ math] es la pendiente de la diferencia. Es claramente negativo en el segundo y tercer cuadrantes, por lo que puede haber como máximo una solución (y sabemos que hay una, en el segundo cuadrante, por lo que no hay otras en este rango).

Para [matemática] x <0 [/ matemática] y el exponencial ascendente, la pendiente de la diferencia es [matemática] \ log_e (10) 10 ^ {x} + \ cos (x) [/ matemática]. En el primer y cuarto cuadrantes esto es claramente positivo, por lo que puede haber como máximo una solución (y sabemos que hay una, en el primer cuadrante, por lo que no hay otras en este rango).