Dado [matemática] f_ {X, Y} (x, y) = \ dfrac {(yx) e ^ {- y}} {4} \ text {for} -y <x <y [/ math]
Encuentre [matemáticas] f_X (x) [/ matemáticas]
Para encontrar la distribución de [math] x [/ math], tenemos que integrar sobre [math] y [/ math]. Por lo tanto, creo que el primer paso sería examinar dónde el pdf no es cero.
[matemáticas] -y <x <y [/ matemáticas]
- ¿Qué significa 6-5 = 2?
- ¿Cuáles son todos los polinomios, [matemática] P (X), [/ matemática] tal que [matemática] (X-16) P (2X) = 16 (X-1) P (X) [/ matemática]?
- ¿Cómo resolver X (4x + 5) +3 (2x ^ 2-4x + 1) en pasos? Mi clave de respuesta dice 10x ^ 2-7x + 3 y me gustaría saber cómo obtuvieron esa respuesta
- ¿Cómo pruebo que [math] \ frac {\ partial ^ k M_x} {\ partial x ^ k} (a) = a ^ k \ mathbb E (x ^ k) [/ math]? Donde [math] M_x [/ math] es la función del generador de momento, [math] a [/ math] una constante y [math] k [/ math] el orden de la derivada.
- ¿Cuál es la integral de [matemáticas] y = | x | [/matemáticas]?
[matemáticas] (- y <x) \ cap (x <y) [/ matemáticas]
[matemáticas] (y> -x) \ cap (y> x) [/ matemáticas]
Si [matemática] x> 0 [/ matemática], eso debe significar [matemática] y> x [/ matemática], porque [matemática] x> -x [/ matemática] cuando [matemática] x> 0 [/ matemática]
Si [matemática] x -x [/ matemática], porque [matemática] -x> x [/ matemática] cuando [matemática] x <0 [/ matemática]
Cuando [math] x = 0 [/ math], cualquiera de los dos está bien.
Eso significa que esto se puede dividir en 2 intervalos.
Si [matemática] x \ ge 0 [/ matemática] (que significa [matemática] y> x [/ matemática]):
[matemáticas] \ displaystyle f_X (x) = \ int_x ^ \ infty \ dfrac {(yx) e ^ {- y}} {4} dy [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle f_X (x) = \ dfrac {1} {4} \ int_x ^ \ infty ye ^ {- y} dy – \ dfrac {x} {4} \ int_x ^ \ infty e ^ {- y} dy [/ math]
Para la primera integral:
[matemáticas] \ displaystyle \ int_x ^ \ infty ye ^ {- y} dy [/ math]
Aplicaré la integración tabular por partes. Integración por partes – Wikipedia
[matemáticas] u = y [/ matemáticas] [matemáticas] dv = e ^ {- y} dy [/ matemáticas]
[matemáticas] y \ mid e ^ {- y} [/ matemáticas]
[matemáticas] 1 \ mid -e ^ {- y} [/ matemáticas]
[matemáticas] 0 \ mid e ^ {- y} [/ matemáticas]
Eso nos da:
[matemáticas] \ displaystyle \ int_x ^ \ infty ye ^ {- y} dy = (y (-e ^ {- y}) – 1 (e ^ {- y})) | _x ^ \ infty = (-ye ^ {-y} – e ^ {- y}) | _x ^ \ infty = xe ^ {- x} + e ^ {- x} [/ math]
Para la segunda integral:
[matemáticas] \ displaystyle \ int_x ^ \ infty e ^ {- y} dy = -e ^ {- y} | _x ^ \ infty = e ^ {- x} [/ math]
Por lo tanto, la expresión para el pdf marginal se convierte en:
[matemáticas] \ displaystyle f_X (x) = \ dfrac {1} {4} \ int_x ^ \ infty ye ^ {- y} dy – \ dfrac {x} {4} \ int_x ^ \ infty e ^ {- y} dy [/ math]
[matemáticas] f_X (x) = \ dfrac {1} {4} (xe ^ {- x} + e ^ {- x}) – \ dfrac {x} {4} (e ^ {- x}) [/ matemáticas]
[matemáticas] f_X (x) = \ dfrac {xe ^ {- x}} {4} + \ dfrac {e ^ {- x}} {4} – \ dfrac {xe ^ {- x}} {4} [ /matemáticas]
[matemáticas] f_X (x) = \ dfrac {e ^ {- x}} {4} \ text {para} x \ ge 0 [/ matemáticas]
Si [matemática] x \ le 0 [/ matemática] (que significa [matemática] y> -x [/ matemática]):
[matemáticas] \ displaystyle f_X (x) = \ int _ {- x} ^ \ infty \ dfrac {(yx) e ^ {- y}} {4} dy [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle f_X (x) = \ dfrac {1} {4} \ int _ {- x} ^ \ infty ye ^ {- y} dy – \ dfrac {x} {4} \ int _ {- x} ^ \ infty e ^ {- y} dy [/ math]
Aplicando nuevamente la integración tabular por partes en la primera integral:
[matemáticas] f_X (x) = \ dfrac {1} {4} (- ye ^ {- y} – e ^ {- y}) | _ {- x} ^ \ infty – \ dfrac {x} {4} (-e ^ {- y}) | _ {- x} ^ \ infty [/ math]
[matemáticas] f_X (x) = \ dfrac {1} {4} (- xe ^ x + e ^ x) + \ dfrac {x} {4} (e ^ x) [/ matemáticas]
[matemáticas] f_X (x) = – \ dfrac {xe ^ x} {4} + \ dfrac {e ^ x} {4} + \ dfrac {xe ^ x} {4} [/ matemáticas]
[matemáticas] f_X (x) = \ dfrac {e ^ x} {4} \ text {para} x \ le 0 [/ matemáticas]
Eso nos da:
[matemáticas] f_X (x) = \ begin {cases} \ dfrac {e ^ {- x}} {4} & \ text {for} x \ ge 0 \\ \ dfrac {e ^ {x}} {4} \ text {for} x \ le 0 \ end {cases} [/ math]