¿Cuál es la integral de [matemáticas] y = | x | [/matemáticas]?

Answer 1

Podemos escribir

[matemáticas] \ izquierda | x \ derecha | = signo (x) \ cdot x [/ math]

donde [math] sign [/ math] es la función signum.

La función signum se puede “extraer” de una integral, como una constante. (La prueba se deja como un ejercicio para el autor de la pregunta).

[matemáticas] \ int \ left | f (x) \ right | \; dx = signo (f (x)) \ int f (x) \; dx [/ math]

Poniendo en [matemáticas] f (x) = x [/ matemáticas],

[matemáticas] \ int \ left | x \ right | \; dx = signo (x) \ int x \; dx [/ math]

[matemáticas] = \ frac {1} {2} signo (x) \ cdot x ^ 2 + C [/ matemáticas]

Esto se puede simplificar aún más:

[matemáticas] = \ frac {1} {2} signo (x) \ cdot x \ cdot x + C [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {1} {2} \ izquierda | x \ derecha | x + C [/ matemáticas]

Answer 2

Deje [math] T = \ displaystyle \ int \ left \ lvert x \ right \ rvert \, \ mathrm dx [/ math].

Una forma de trabajar con funciones que incluyen valores absolutos (como [math] \ left \ lvert x \ right \ rvert [/ math]) es razonar por separado sobre los valores positivos y negativos del término cuyo valor absoluto se está utilizando ([math ] x [/ math], en este caso), y hay otras respuestas que hacen esto. Sin embargo, creo que esto puede complicarse (especialmente en los casos más complicados) y, por lo tanto, puede ser un poco propenso a errores, por lo que prefiero encontrar una forma de razonar sobre los valores absolutos en su totalidad al igual que cualquier otra función. Aquí hay una respuesta en ese sentido.

Lema: [math] \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} \ left \ lvert x \ right \ rvert = \ dfrac {x} {\ left \ lvert x \ right \ rvert} [/ math]

Tenga en cuenta que [matemáticas] \ left \ lvert y \ right \ rvert ^ 2 \ equiv y ^ 2 \ \ forall y \ in \ mathbb {R} [/ math] [matemáticas] \ por lo tanto \ left \ lvert y \ right \ rvert \ equiv \ dfrac {y ^ 2} {\ left \ lvert y \ right \ rvert} [/ math].

[matemáticas] \ por lo tanto T = \ displaystyle \ int \ frac {x ^ 2} {\ left \ lvert x \ right \ rvert} \, \ mathrm dx [/ math]

Podemos aplicar la integración por partes que usa la regla general [matemáticas] \ int u \, \ mathrm dv = uv – \ int v \, \ mathrm du [/ math].

Deje [math] u = x [/ math] y [math] v = \ left \ lvert x \ right \ rvert [/ math], entonces [math] du = \ mathrm dx [/ math] y [math] \ mathrm dv = \ dfrac {x} {\ left \ lvert x \ right \ rvert} \, \ mathrm dx [/ math].

[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto T & = \ int u \, \ mathrm dv \\ & = uv – \ int v \, \ mathrm du \\ & = x \ cdot \ left \ lvert x \ right \ rvert – \ int \ left \ lvert x \ right \ rvert \, \ mathrm dx \\ & = x \ left \ lvert x \ right \ rvert – T \ end {align} [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto 2T = x \ left \ lvert x \ right \ rvert [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto T = \ en caja {{\ textstyle \ frac {1} {2}} x \ left \ lvert x \ right \ rvert} [/ math]

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Prueba de lema : [matemáticas] \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} \ left \ lvert x \ right \ rvert = \ dfrac {x} {\ left \ lvert x \ right \ rvert} [/ math]

Recuerde que para [math] y \ in \ mathbb {R}, y \ ge 0 [/ math] la potencia fraccional [math] y ^ {\ frac {1} {2}} [/ math] se define como raíz cuadrada negativa de [math] y [/ math]. Por lo tanto, podemos observar que [matemáticas] \ left \ lvert x \ right \ rvert \ equiv \ left (x ^ 2 \ right) ^ {\ frac {1} {2}} \ \ forall x \ in \ mathbb {R} [/matemáticas].

[matemáticas] \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} \ left \ lvert x \ right \ rvert = \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} \ left (x ^ 2 \ right) ^ {\ frac {1} {2}} = \ frac {1} {2} \ left (x ^ 2 \ right) ^ {- \ frac {1} {2}} \ times 2x = \ dfrac {x} {\ left ( x ^ 2 \ right) ^ {\ frac {1} {2}}} = \ dfrac {x} {\ left \ lvert x \ right \ rvert} \ \ [/ math] QED

Answer 3

Así que vamos a encontrar la integral definida [matemáticas] \ int_ {a} ^ {b} | x | dx [/ math] usando argumentos geométricos.

Ahora, como puede deducir de la imagen, tenemos que distinguir casos, a saber:

1. [matemáticas] a = 0, b \ neq 0 [/ matemáticas], (triángulo rectángulo):

En cuyo caso, [matemáticas] \ int_ {a} ^ {b} | x | dx = b ^ 2/2 [/ matemáticas]

1. [matemática] a> 0, b> 0 [/ matemática] o [matemática] a <0, b <0 [/ matemática], (trapecio)

En cuyo caso, [matemáticas] \ int_ {a} ^ {b} | x | dx = | ba | (| a | + | b |) / 2 [/ math]

3. [matemática] b <0, a> 0 [/ matemática] (dos triángulos en ángulo recto):

En cuyo caso, [matemáticas] \ int_ {a} ^ {b} | x | dx = (b ^ 2 + a ^ 2) / 2 [/ matemáticas]