¿Cómo pruebo que [math] \ frac {\ partial ^ k M_x} {\ partial x ^ k} (a) = a ^ k \ mathbb E (x ^ k) [/ math]? Donde [math] M_x [/ math] es la función del generador de momento, [math] a [/ math] una constante y [math] k [/ math] el orden de la derivada.

Answer 1

Bueno, no puedes probarlo, porque [math] M_x (a) [/ math] no es una función de [math] x [/ math]. La definición de la función generadora de momento es

[matemáticas] M_x (t) = \ int e ^ {tx} dF_X (x) = E_X \ left \ {e ^ {tX} \ right \}. [/ math]

Una vez que haya completado la integración (suma en el caso de una variable aleatoria discreta, tome la integral como una integral de Stieljes, por favor) [math] x [/ math] desaparece . La derivada que indica es 0, porque la función es constante con respecto a [math] x [/ math].

(Por cierto, si realmente estaba preguntando acerca de las funciones generadoras de momento factorial, a / k / a funciones generadoras de probabilidad, [matemáticas] E_X \ left \ {t ^ X \ right \} [/ matemáticas] lo mismo ocurre)

Si querías preguntar cómo mostrar eso

[matemáticas] \ frac {d ^ k} {dt ^ k} M_X (t) | _ {t = 0} = E_X \ left \ {X ^ k \ right \} [/ math]

escriba la definición de mgf (como a la derecha), luego tome la derivada k-ésima con respecto a t . Dependiendo del nivel de rigor que desee, debe justificar el intercambio de la integral (expectativa) y la derivada, utilizando el Teorema de convergencia dominado por Lesbesgue.

Nuevamente, si realmente está preguntando acerca de las funciones generadoras de momento factorial, haga lo mismo pero use la expectativa correcta. Todavía tiene que justificar que el intercambio del límite (derivado) y la expectativa (integral) es permisible.

Answer 2

Comience con cómo se define el MGF de X aplicado en a y diferencie esa función, wrt a x, k veces.