¿Cuáles son todos los polinomios, [matemática] P (X), [/ matemática] tal que [matemática] (X-16) P (2X) = 16 (X-1) P (X) [/ matemática]?

Si X = 16, entonces encontramos que P (16) debe ser igual a cero. Y si X = 1, encontramos que P (2) debe ser cero. Entonces P (X) tiene 2 y 16 como raíces, al menos.

[matemáticas] P (X) = (X-2) (X-16) Q (X) [/ matemáticas]

Sumergiendo esto en:

[matemáticas] (X-16) (2X-2) (2X-16) Q (2X) = 16 (X-1) (X-2) (X-16) Q (X) [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 (X-1) (X-8) Q (2X) = 16 (X-1) (X-2) Q (X) [/ matemáticas]

[matemáticas] (X-8) Q (2X) = 4 (X-2) Q (X) [/ matemáticas]

Ahora podemos ver que Q (X) tiene raíces 8 y 4.

[matemáticas] Q (X) = (X-4) (X-8) R (X) [/ matemáticas]

Sub it in.

[matemáticas] (X-8) (2X-4) (2X-8) R (2X) = 4 (X-2) (X-4) (X-8) R (X) [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 (X-2) (X-4) R (2X) = 4 (X-2) (X-4) R (X) [/ matemáticas]

[matemáticas] R (2X) = R (X) [/ matemáticas]

R (X) debe ser algo constante, digamos K.

[matemáticas] P (X) = K (X-2) (X-4) (X-8) (X-16) [/ matemáticas]

La respuesta de Christopher es buena. Me gustaría dar un enfoque ligeramente diferente.

supongamos que [matemática] P (x) = a_0x ^ n + a_1x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {n-1} x ^ 1 + a_n, a_0 \ neq 0 [/ matemática]

comparando el coeficiente de [matemáticas] x ^ {n + 1} [/ matemáticas] en [matemáticas] (x-16) P (2x) = 16 (x-1) P (x) [/ matemáticas], podemos encontrar

[matemáticas] x \ cdot a_0 (2x) ^ n = 16x \ cdot a_0x ^ n [/ matemáticas]

entonces, [matemáticas] 2 ^ n = 16 [/ matemáticas], entonces, n = 4.

a continuación, utilizando las técnicas presentadas por Christopher Reid, podemos encontrar que 2, 16, 4, 8 son cero puntos de P (x).

entonces, [matemáticas] P (x) = a (x-2) (x-16) (x-4) (x-8) [/ matemáticas]