¿Qué tipo de relación intercede entre fracciones y división?

Answer 1

Los detalles de la pregunta se proporcionaron aquí: la respuesta de James Black a ¿Qué tipo de relación intercede entre fracciones y división?

Me gusta explicar las fracciones como “divisiones que hemos elegido posponer”.

Por lo tanto, [matemáticas] 2 \ div 5 = \ dfrac {2} {5} = 0.4 [/ matemáticas]

A menudo, la razón por la que preservamos y manipulamos las fracciones es la posibilidad de que nunca necesitemos realizar la división.

Una expresión de fracción se puede ver como una razón, una proporción que representa

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {The \ Part} {The \ Whole} [/ math]

En los detalles de la pregunta, se sugiere que el concepto que une la fracción a la división está “roto” con

[math] \ dfrac {2} {5} \ [/ math] cuando se compara con [math] \ dfrac {1} {5} [/ math]

porque “ya no estamos trabajando con un solo conjunto, estamos trabajando con dos totalidades”.

En realidad, estamos trabajando con un todo compuesto de 5 partes, de las cuales nuestra preocupación es una parte de ese todo compuesto de 2.

La división, en sí misma, es en realidad el recíproco de la multiplicación.

[matemática] Multiplicador \ multiplicador de veces = Producto [/ matemática]

[matemática] Dividendo \ div Divisor = Cociente [/ matemática]

El producto se asigna al dividendo. El multiplicador se asigna al divisor. Y el multiplicando se asigna al cociente.

Una división es el descubrimiento del cociente (multiplicando) que, multiplicado por el divisor (multiplicador) produciría el dividendo (producto).

Se nos enseñan los nombres de los componentes de la fracción.

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {Numerador} {Denominador} [/ matemáticas]

Cuando hablamos de dinero, mencionamos las denominaciones de los billetes en nuestra billetera. Quizás unos, cinco, decenas y veinte. Y nos preocupa el número de billetes que tenemos, las cantidades enumeradas de cada denominación.

Mirando más profundamente la relación de división a multiplicación, recuerde lo que hacemos para resolver fracciones compuestas de fracciones en el numerador y el denominador. Invertimos la fracción inferior y multiplicamos.

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ frac {2} {3}} {\ frac {4} {5}} = \ frac {2} {3} \ times \ frac {5} {4} = \ frac { 10} {12} = \ frac {5} {6} [/ matemáticas]

En el otro extremo, estoy reduciendo la fracción a los términos más bajos. Estoy pensando en el numerador y los denominadores como productos de factores, donde los factores comunes pueden cancelarse porque esos factores comunes actúan como multiplicadores que cambian la escala pero no la relación.

Answer 2

*DETALLES DE LA PREGUNTA*

Comencemos con una fracción , es solo un número que representa un valor diciéndonos cuántas piezas de cierto tamaño tenemos .

Ahora, ¿qué pasa con otra forma de representar este valor, como considerarlo como una sola pieza de ese tamaño ? Bueno, podemos tomar un número mayor y dividirlo en partes iguales del tamaño que necesitamos, para que una de esas partes sea igual al valor que queremos representar.

Entonces, ¿qué valor, dividido por otro valor, da la pieza que necesitamos? ¡Exactamente! Los mismos valores de una fracción , numerador y denominador, pero ¿por qué esta relación? Por que funciona ¿Existe un axioma / teorema que lo hace posible, o es solo una coincidencia?

EDITAR: por ejemplo, ¿qué relación hace que el número 5/2 sea igual a lo que la división entre el número 5 y el número 2 da como resultado?

EDIT 2: lo que estoy buscando es, si es posible, una forma más intuitiva de comprender profundamente esta relación sin el uso de expresiones algebraicas para demostrarlo o reglas que “lo hacen realidad y se detienen”.

EDITAR 3: Ok, entonces pensé esto, digamos que tenemos la fracción 1/5, significa que tenemos una quinta parte de un todo y para obtener una quinta parte de un todo podemos dividir el todo en 5 piezas y obtener el tamaño de uno.

Ahora, digamos que tenemos 2/5, como fracción, todavía tiene sentido, todavía significa que tenemos dos quintos de un todo, pero como división, de repente deja de funcionar, porque en una división, no estamos trabajando con un solo todo más, estamos trabajando con dos totalidades.

¿Por qué funciona esto que? Bueno, porque la división aún solo toma el tamaño de una pieza, mientras que las fracciones pueden obtener el tamaño de más piezas juntas, entonces, ¿cómo hacemos que funcione? Podemos simplemente duplicar el número entero inicial para que cuando se divida por el mismo tamaño que antes, el tamaño de una sola pieza sea equivalente al tamaño de dos piezas del valor anterior.

Pero ahora, ¿por qué el número (en este caso, el número 2) sigue siendo válido tanto para la división como para la fracción, ¿por qué sigue siendo aplicable a ambos y así sucesivamente con todos los demás números?